第01单元 向量代数与空间解析几何.pptVIP

　　例2. 已知两点M1(2, 2, )和M2(1, 3, 0). 计算向量M1 M2的模, 方向余弦和方向角. 解: M1 M2 = (?1, 1, ? ) ||M1 M2 || = 例3: 在z轴上求与两点 A(?4, 1, 7) 和B(3, 5, ?2)等距离的点. 解: 设该点为M(0, 0, z) 由题设 |MA| = |MB|. 即: 解得: 所求点为 M (0, 0, ) 例4 证明以M1(4, 3, 1), M2(7, 1, 2), M3(5, 2, 3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解: 由 |M2 M3 | = |M3 M1 |, 所以 ?M1 M2 M3 是等腰三角形. §2　向量的数量积.向量积及混合积 一、 向量的数量积 例如: 设力F 作用于某物体上, 物体有一段位移S , 　　求功的表示式. 解: 由物理知, 与位移平行的分力作功, 与位移垂直的分力不作功. 于是 W=|F |cos? ? |S | = |F | |S | cos? s F 且 当 时，做正功； 当 时，做负功； 当 时，不做功。 设有两个向量 a、b, 它们的夹角为?, 即: a ? b = |a| |b| cos? 1. 定义1: 将数值|a ||b|cos? 称为a与b的 数量积 ( 或 点积 ), 记作 a ? b . 内积 注1: 当 a ? 0时, | b | cos? = Prjab 当 b ? 0时, | a |cos? = Prjba 于是　　a ? b = |a| ? Prjab = |b| ? Prjba 注2:　　a ? a = | a |2 例如:　　i ? i = j ? j = k ? k = 1 a ? b = |a| |b| cos? (1) 交换律 a ? b = b ? a (2) 分配律 (a + b) ? c = a ? c + b ? c (3) 数量积满足如下结合律: (? a) ? b = a ? (? b) = ? (a ? b), ?为实数 2. 数量积的性质 (4) a ? a ? 0 ， a = 0 且a ? a = 0 a ? b = |a| |b| cos? a ? b = |a| ? Prjab = |b| ? Prjba 证:　必要性:　设a ? b, 充分性: 设a ? b = | a | ? |b |cos? =0; 由a ?0, b ?0, 得: cos? =0 , 即　　a ? b 例如: i、j、k 互相垂直, 所以 i ? j = j ? k = i ? k = 0 (5) 两个非零向量a , b 垂直　a ? b = 0 如图, 利用数量积证明三角形的余弦定理 | c |2 = | a |2 + | b |2 ?2 | a | ? | b |cos? 证: | c |2 = | a ? b |2 = (a ?b) ? (a ?b) = a ? a + b ? b ?2 a ? b = | a |2 + | b |2 ?2 | a | ? | b |cos? | c |2 = | a |2 + | b |2 ?2 | a | ? | b |cos? 故: a b c ? 例1. 由于c = a ? b , 于是 = a ? (a ?b) ?b ? (a ?b) 3. 数量积的坐标表示式 设 a =(ax, ay , az), b = (bx , by , bz), 则 a ? b = (ax i + ay j + az k ) ? (bx i + by j + bz k ) = ax i ? (bx i + by j + bz k ) + ay j ? (bx i + by j + bz k ) + az k ? (bx i + by j + bz k ) = ax bx i ? i + ax by i ? j + ax bz i ? k + ay bx j ? i +ay by j ? j + ay bz j ? k + az bx k ? i + az by k ? j + azbz k ? k = ax bx + ay by + az bz 得公式: a ? b = ax bx + ay by + az bz (1) 推论: 两个非零向量 a =(ax, ay , az), b = (bx , by , bz)垂直 ax bx + ay by + az bz