圆的一般方程课件讲解.ppt

* 复习圆的标准方程 3.圆的标准方程的两个基本要素: 是 和 . 1.圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2. 其中圆心坐标为C(a,b),半径为r. 2.当圆心在坐标原点上,这时a=b=0, 那么圆的方程为x2+y2=r2. 圆心坐标 半径 圆的一般方程 研究圆的标准方程 将圆的标准方程展开,化简,整理,可得 x2+y2-2ax-2by+(a2+b2-r2)=0, 取D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,可写成:x2+y2+Dx+Ey+F=0. 也就是说: 任何一个圆的方程都可以通过展开写成下面方程的形式：x2+y2+Dx+Ey+F=0 ① 请大家思考一下,反过来讲,形如①的方程的曲线是否一定是一个圆呢？下面我们来深入研究这一方面的问题. 圆的一般方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 研究二元二次方程表示的图形 再将上述方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 ①左边运用配方法,得(x+ )2+(y+ )2= ② 显然②是不是圆方程与 是什么样的数 密切相关 (1)当D2+E2-4F＞0时,②式可化为(x+ )2+(y+ )2=( )2 方程表示以(- ,- )为圆心、以 为半径的圆. (2)当D2+E2-4F=0时,②式可化为(x+ )2+(y+ )2=0 方程只有实数解x=- ,y=- ,表示一个点(- ,- ). (3)当D2+E2-4F＜0时,②式可化为(x+ )2+(y+ )2＜0 方程没有实数解,因而它不表示任何图形曲线. 圆的一般方程 得结论、给定义 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹可能是圆、点或无轨迹. 我们把D2+E2-4F＞0时x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的圆的方程称为圆的一般方程. 学过两种形式的圆的方程(标准方程和一般方程)之后,谁能指出它们各自的优点呢？ 圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0突出了形式上的特点: (1)x2和y2的系数相同,且不等于0 (2)没有xy这样的二次项. 以上两点是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的 条件. 必要不充分条件 充要条件是什么呢? 明确指出了圆心和半径 圆的一般方程 例题分析 例1.求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程,并求 出这个圆的圆心坐标和半径. 分析:圆的一般方程需确定三个系数,用待定系数法. 解:设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,因为O、M1、M2 三点在圆上,所以它们的坐标是方程的解, ∴ 解此方程组,可得:D=-8,E=6,F=0. ∴所求圆的方程为:x2+y2-8x+6y=0. 将此方程左边配方得圆的标准方程(x-4)2+(y+3)2=52, 于是圆心坐标(4,-3),半径为r=5. 方法:待定系数法 和配方法 圆的一般方程 例题分析 圆的一般方程 例2.经过点M(-6,0)作圆C:x2+y2-6x-4y+9=0的割线,交圆 C于A、B两点,求线段AB的中点P的轨迹. 解:圆C的方程可化为(x-3)2+(y-2)2=4,其圆心为C(3,2), 半径为2.设P(x,y)是轨迹上任意一点.∵CP⊥MP ∴kCP?kMP=-1,即 =-1. 化简得x2+y2+3x-2y-18=0, 点C在曲线上,并且曲线为圆C内部的一段圆弧. *