第1单元 线性空间与内积空间.pptVIP

　　定理1.4.10 设 是线性空间V 的 s 个子空间，则以下结论等价： 　　(3) 　　(4) 　　(1)和　　　 是直和； 　　(2)和　　　 零向量的表法唯一； 1.5 线性空间的同构 　　注　同构具有自反性、对称性和传递性。 　　定义1.5.1　设V 与 都是数域 P 上的线性空间，如果存在V 到 的双映射 满足 其中α,β是V中任意向量，k 是数域 P 中任意数，则称 为V 到 的同构映射，并且称V 与 是同构。 　 定理1.5.1 设V 与 是数域 P 上同构的线性空间， 为 V 到 的同构映射，则 　　定理1.5.2　数域 P上的两个有限维线性空间V 与 同构的充分必要条件是它们的维数相同。 　　例1.5.1　设 是数域 P 上 n 维线性空间Ｖ 的一组基，定义映射　　　 P 如下： 其中　　　　　　是向量　在基　　　　　下的坐标，则　是Ｖ 到 P 的同构映射。 　　定义1.6.1　设V 是数域P上的线性空间，如果存在V 到P一个代数运算(α,β)，它满足条件： 1.6 内 积 空 间 其中 　　　　　　　　，则称V 是一个内积空间，称(α,β)为α与β的内积。如果P＝Ｒ，则称V 为Euclid空间；如果 P＝Ｃ，则称V 为酉空间。 　　在内积空间中，成立以下性质： 　　内积空间的例子： 　　方阵的迹具有以下性质： 的共轭转置矩阵。 　　矩阵的共轭转置具有下列性质： 　　定义1.6.2　设V 是内积空间，V 中向量α的长度定义为  ，长度为1的向量称为单位向量。 例1.6.1　 　　定理1.6.1　设V 是数域 P 上的内积空间，则向量长度　　具有如下性质： 不等式 称为Cauchy不等式。 　　定义1.6.3　设V 是内积空间，V 中向量α与β之间的距离定义为 距离满足如下三个基本条件： 　　定义1.6.4 设α,β是欧氏空间Ｖ中两个非零向量，它们之间的夹角 α,β定义为 　　定义1.6.5 设α,β是内积空间中两个向量，如果(α,β)=0，则称α与β正交，记为 。 　　如果α与β正交，则有如下“勾股定理” 　　定理1.6.２ 设 是内积空间V 中的一组向量,则 线性无关的充分必要条件是Gram矩阵 非奇异。 　　定义1.6.6 　设 ，如果 ，则称 A 为Hermite矩阵；如果 ，则称 A 为反Hermite矩阵。 　　根据推论1.6.1，　　　　　　　是 m 阶Hermite矩阵。 　　推论1.6.1 设 是内积空间V 中一组向量，则 　　设V 是n 维内积空间， 是V 的一组基，称矩阵　　　　　　　 是基　　　　　 的度量矩阵。 * 主讲教师 王丽平 Email: wlpmath@ 第2章 线性映射与线性变换 第1章 线性空间与内积空间 第3章 λ矩阵与矩阵的Jordan标准形 第4章 矩阵的因子分解 第7章 矩阵函数与矩阵值函数 第5章 Hermite矩阵与正定矩阵 第6章 范数与极限 第8章 广义逆矩阵 约定和常用符号 （1）集合用大写字母A，B，C，…表示，集合中的元素用小写字母a，b，c…表示. 1.1 预备知识 1.2 线性空间 1.3 基与坐标 1.4 线性子空间 1.5 线性空间的同构 1.6 内积空间 第1章 线性空间与内积空间 1.1 预备知识 　　元素 称为元素 在映射 下的像，称 为 的原像。集合 称为映射 的定义域，集合 称为映射 的值域。 　　定义1.1.1 设 是两个非空集合，如果存在对应法则 ，使得 ，按对应法则 ，在 中有唯一元素 与之对应，则称 是 到 的一个映射,记为 映射的例子： 　　定义1.1.2　设　是非空集合，定义映射　　　　 如下: 称　是　上的恒等映射或单位映射。 　　定义1.1.３　设 是集合 到 的一个映射， 　　（1）如果 ，则称 是 到 的满映射； 　　（2）如果　 ，有 ，则称 是 到 的单映射； 　　（3）如果 既是单映射又是满映射，则称 是 到 上的一一映射或称 是 到