第1单元 矢量分析.pptVIP

本章主要知识点： * 第一章 矢量分析 1.1 矢量及其代数运算 1.2 圆柱坐标与球坐标 1.3 矢量场* 1.4 标量场* 1.5 亥姆霍兹定理(略）  第一章 矢量分析与场论 标量 矢量 标量场 矢量场 场 通量 散度 环量 旋度 方向导数 梯度 高斯散度定理 斯托克斯定理 掌握：1.基本概念；2.书写方法；3.代数运算 矢量分析和场分析法 1.3.2 矢量场的通量及散度 1. 矢量场的通量(Flux) 面元矢量： 面元外法线方向 －－标量积称为矢量 穿过 的通量。 定义： 矢量场 穿过整个曲面 的通量为： 如果 是一个闭合曲面，则其通量为： 通量是一个积分量。它描绘闭合面内较大范围内的发散源的分布情况。若要 描述场中每一个点上源的性质，必须引入新的矢量 ——散度。 称此极限为矢量场 在点P处的散度。 设有矢量场 ，在场中任一点P处作 一个包含P点在内的任一闭合曲面 ， 设 所限定的体积为ΔV， 当体积ΔV以任意方式缩向P点（ ）时， 取下列极限: 2.矢量场的散度 （divergence ） 1) 散度定义 记作 －－定义式 散度的物理意义：从点P单位体积散发的通量。 它是一个标量，它描述的是场分量沿各自方向上的变化规律。 直角坐标系中，散度的表达式为： （1-3-12） 哈 密 顿 算 子 3) 高斯散度定理（Divergence Theorem） 即矢量场 散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的 封闭曲面的总通量。 散度定理应用：将一个封闭的面积分变成等价的体积分或反之。 【例1-3】在矢量场 中，有一个边长为1的立方体，它的一个顶点在坐标原点上，如图示。试求： (1) 矢量场 的散度； (2) 从六面体内穿出的通量，并验证高斯散度定理。 解：(1) 根据散度计算公式得， (2) 从单位立方体穿出的通量： 故从立方体内穿出的通量为2，且高斯散 度定理成立，即 1.3.3 矢量场的环量和旋度 1.环量定义(Circulation) 设有矢量场 ， 为场中 的一条封闭的有向曲线，则定义矢量场 环绕闭合路径 的 线?积分为该矢量的环量，记作 图 1-14矢量场的环量 环量是一标量，反映了闭合曲线内旋涡场的分布情况。要分析每个点附近旋涡源的分布情况，引入旋度。 1) 环量密度 2. 矢量场的旋度(curl) 环量面密度与 所围成的面元 的方向有关。在给定点上，不同方向（或路径），环量面密度不同。 此极限值就是矢量场在P点沿 方向的环量面密度。 2）旋度：取环量面密度最大的矢量，记作： 其模值等于矢量 在给定点处的最大环量面密度；方向为此时的面元方向 。 旋度表示该矢量场单位面积上的环量‘它描述的是场分量沿 着与它相垂直方向上的变化规律。 旋度的一个重要性质是任意矢量的旋度的散度恒等于零。即： 注：矢量 在圆柱坐标系和球坐标系中的旋度表达式见附录1 （P237）。 直角坐标系中，旋度的表达式为： 3)斯托克斯定理（Stokes Theorem） 斯托克斯定理完成矢量旋度的面积分与该矢量的线积分之间的互换。 矢量场在闭合曲线 上的环量等于闭合曲线 所包围曲面 上旋度的总和。 【例1-4】 已知一矢量场 试求： (1) 该矢量场的旋度； (2) 该矢量场沿半径为3的四分之一 圆盘边界的线积分，如图示，验证斯托 克斯定理。 解：(1) (2) 矢量沿四分之一圆盘边界的线积分： 由极坐标与直角坐标的关系得： 可见，斯托克斯定理 成立。 1.4 标量场 本节要点：－－考察标量场在空间的分布及变化规律。 等值面 方向导数 梯度 1.4.2 方向导数(Directional Derivative) 1. 方向导数的定义 设P0是标量场φ=φ(M)中的一个已知点，从P