第1单元 矩阵的初等变换与线性方程组.pptVIP

解方程组 例3 第一步:把增广矩阵用行变换化阶梯形,判断是否有解;若有解,继续化为行最简阶梯形矩阵。 第二步：写出等价的(独立的)方程组，保留第一个未知数在左边其余的移到右边，移到右边的称为自由变量。 第三步：令自由变量为任意实数，写出通解。再改写为向量形式。 令 通解 思考 利用矩阵解线性非齐次方程组的步骤. 祥见教材第12页. 练习 解方程组 例4 求解齐次线性方程组 解 对系数矩阵A施行初等行变换化为最简阶梯形: 线 性 代 数 任课教师 程林凤 线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。 例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有n个未知量的一次方程称为线性方程。关于变量是一次的函数称为线性函数。 线性代数作为独立的分支直到20世纪才形成，然而它的历史却非常久远。 最古老的线性问题是线性方程组的解法，在中国古代的数学著作《九章算术·方程》中，已经作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等变换，消去未知量的方法。 随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入，行列式和矩阵在18～19世纪期间先后产生，为处理线性问题提供了有力的工具，从而推动了线性代数的发展。 向量概念的引入，形成了向量空间的概念。线性问题都可以用向量空间的观点加以讨论。因此，向量空间及其线性变换，以及与此相联系的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容。 线性代数的含义随数学的发展而不断扩大。线性代数的理论和方法已经渗透到数学的许多分支。比如，“以直代曲”是人们处理很多数学问题时一个很自然的思想。许多经济学、工程学、物理、化学等领域的大型线性问题的计算使得线性代数成为应用最广泛的数学学科之一。  第一章 解线性方程组的消元法与矩阵的初等变换 §1.3 解线性方程组的的消元法 §1.2 矩阵及初等变换 §1.1 若干典型问题 今有30000美元投资给三个投资公司A，B，C，投资给这三个公司的(平均)年利润率分别为12％、15％、22％。投资者投资目标是(平均)年总利润为6000美元，投资者要求投给公司B的资金是投给公司A的2倍。为了达到这个投资目标与要求，应当投资每个公司各多少美元? 解 设投资于公司A，B，C的资金分别为 问题1（投资问题） 问题： （1）如何判别（*）是否有解？若有解，解是否唯一？ （2）如何解（*）？ （3）当（*）有无穷多解时，其解如何表示？ （*） 问题2. 线性方程组的一般理论 问题3 航线连接问题 四个城市间的单向航线如图： 1 2 3 4 ④ ③ ② ① ④ ③ ② ① 可简单地用一个数表来表示： 问题4 Fibonacci数列(兔子繁殖问题） Fibonacci数列满足递推关系式： 其中 利用矩阵的对角化方法，可以得到该数列一般项的显示表达式。 问题5 二次曲面的图形 线性代数的最基本研究对象——线性方程组 线性代数研究中的最基本工具——矩阵 线性代数研究的非常有用的方法——矩阵的初等变换 矩阵诞生于19世纪，晚于行列式约一百年。从表面上看，矩阵与行列式不过是一种数学语言和书记符号；但是，正是这种“结构好的语言的好处，它的简洁的记法常常是深奥理论的源泉。”(P.S.Laplace) 进入20世纪，线性代数的发展曾一度被认为相当成熟，作为研究课题已寿终正寝。随着电子计算机的发展，各种快速算法相继涌现，矩阵数值分析快速发展，矩阵理论研究进入一个新的发展阶段。 §2 矩阵及其初等变换 定义 为表示它是一个 整体，总是加一个括号，并用大写字母记之。 (1) 1×1的矩阵可以理解为一个数。 (2) 行数与列数都等于 n 的矩阵 A，称为 n 阶方阵或 n 阶矩阵。 (3) 只有一行的矩阵 称为行矩阵或 n 维行向量。 称为列矩阵或 m 维列向量。 (4) 只有一列的矩阵 (5) 元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为O 。 (6) 矩阵 (约定未写出的元素全为零) 称为单位矩阵。 (7) 矩阵 称为对角矩阵。记作 定义 设 ，如果 (此时称A与B是同型矩阵) 且 则称 A 与 B 相等，记作 A = B。 问： 与