第1单元 线性空间与线性变换.pptVIP

不变子空间 定义: 设V 是线性空间，W是V 的子空间， T 是V上的线性变换，若 ?a?W , 都有T(a)?W, 则称W是V的T不变空间。 例 设T 是线性空间V上的线性变换，则 ImT , KerT 是T 不变空间； * 例4 设 是 中的两组基， 下的坐标 在基 下的坐标。 向量是 ，求 在基 * * 定义: 设V 是数域F上的线性空间，W 是V 的非空子集， 若对于V 中的加法和数乘二种运算， W 是数域F 上的线性空间，则称W 是V 的子空间。 定理: 设V 是数域F上的线性空间，W 是V 的非空子集， 若W 对于V 中的加法和数乘二种运算封闭，即 则称W 是V 的子空间。 1.2 子空间与维数定理 * 例1. 实数域上 n 维向量的集合 例2. 设A为m×n 矩阵，向量的集合 例3. 设V 是数域F上的线性空间， V 的子空间, 记作 则 定理: 设V 是F上的线性空间， 为W1与 W2 的和，记作 W1+ W2 定义: 设W1, W2 是线性空间V 的子空间，称集合 称集合 为W1与 W2 的交，记作 W1∩ W2 定理: 设W1, W2 是线性空间V 的子空间，则W1+ W2 与 W1∩W2 都是V 的子空间。 称 W1+ W2 为W1与 W2 的和空间， 称 W1∩W2 为W1与 W2 的积空间。 例4. 线性空间R3的子空间 求 Rx+ Ry ， Rx+ Rxy 和Rx ∩ Rxy 。 例题 例题 定理(维数公式): 设V1, V2 是线性空间V 的子空间，则 维数公式 例5 设V1, V2 是n维线性空间V 的子空间，若 则V1, V2 中必有非零的公共向量。 子空间的直和 定义：设V1, V2 是线性空间V 的子空间，若对每个向量 a?V1+ V2 都有唯一的分解式 则称V1与V2 的和V1+ V2是直和，记作 V1? V2 。 例1. 线性空间R3的子空间 求 Rx? Ry ，Rx? Ryz 。 定理：设V1, V2 是线性空间V 的子空间，则下列命题等价 (2) 向量 0 的分解式是唯一的； (4) V1的一组基与V2 的一组基的简单并是V1+ V2的基； (1) V1与V2 的和V1+ V2是直和; (3) V1 ∩ V2 = {0}; (5) dim(V1+ V2) = dimV1 + dimV2 。 例2. 设 定理：设U 是线性空间V 的子空间，则存在V 的 子空间W，使得V = U? W。 称W 是U在V中的直和补。 坐标关系 V Fn V的基{?1，?2，。。。? n} 由此建立一个一一对应关系? ? ? ? V，?X ?Fn， ?（?）=X （1）?（?1+?2）=?（?1）+?（?2） （2）?（k?）=k?（?） 在关系?下，线性空间V和Fn同构。 1.3 线性空间的同构 同构的性质 同构保持线性关系不变。 定理：数域F上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是他们有相同的维数. 应用：借助于空间Fn中已经有的结论和方法可以研究一般线性空间的线性关系。 1.4 线性变换 定义 设V 为线性空间， V 上的变换 T : V →V 若满足 则称 T 为 V 上的线性变换。 例1. 设T 为R2上的线性变换， T : R2→R2 T (a) = a ′ （如图） T 把向量 a 绕原点逆时针 旋转 q 角度变换为a ′ 。 x y O a a ′ q 称T为旋转 变换。 例2. 设T 为R3上的线性变换， T : R3→R3 例3. 设T 为 上的线性变换， 其中矩阵A是 n 阶方阵. 线性变换的性质：设T是V上的线性变换，则 线性变换的矩阵 定义 设 T 为 V 上的线性变换，a1, a2, … ,an为 V 的基 A 称为T 在基 a1, a2, … ,an 下的矩阵. * A 例1. 设 T 为 上的线性变换， ， 求 T 在基 下的矩阵. 解： 例2. 设 T 为R3上的变换， 下的矩阵. (2) 求 T 在基 (1) 证明： T 为 R3上的线性变换； (3) 求T 的像与核 线性变换的核与像 * 同济大学数学系 2009-3-22 第1章 线性空间与线性变换 武汉理工大学理学院 1.1 线性空间的基本概念 * 定义：设 F 是复数的一个非空集合，若满足 1）F中包含0和1