第1单元 集合 映射与运算.pptVIP

离散数学Discrete Mathematics 邓辉文编著 清华大学出版社 2010. 3 ISBN 978-7-302-21193-8 Chapter 1 Sets, Mappings and Operations 集合是现代数学的最基本概念(?). 映射又称为函数, 它是现代数学的基本概念, 可以借助于集合下定义. 运算本质上是映射, 但其研究有其特殊性. (关系也是集合)集合、映射、运算及关系(Chapter 2)是贯穿于本书的一条主线. 1.1 集合的有关概念 1. 集合 在一定范围内, 集合(set)是其具有某种特定性质的对象汇集成的一个整体, 其中的每一个对象都称为该集合的元素(element). 这里所指范围是全集U(见图1-1).(避免悖论!) 在数学中常用{ }表示整体. 1.2 映射的有关概念 1.映射的定义 映射mapping = 函数function. C语言是一种函数型语言: 从main开始. Def ?A, B: 1.3 运算的定义及性质 运算是讨论对象之间有何联系的一种方法. 其实，我们已经接触过很多运算,如数之间的加法运算、多项式之间的乘法运算、矩阵的逆运算、向量的线性运算等.在讨论离散数据结构时也会经常遇到各种各样的运算，如在下节即将研究的集合间的运算. 虽然运算本质上是映射，但研究的侧重点不同，在运算中更注重于运算满足的一些运算性质，而根据这些性质可以对一些离散对象分门别类进行讨论. 因此，有必要先把运算的一般定义及其性质进行讨论. 1.4 集合的运算 最常见的集合运算是并、交和补. 1.并(union)运算 1.5 集合的划分与覆盖 集合的划分与覆盖是集合中的重要内容之一. 集合的划分就是集合元素间的一种分类. 在信息科学中,可以将知识库看作集合的一种划分. 因此, 研究集合的划分具有特别重要的意义. 比集合的划分更广的概念是集合的覆盖. 这些内容在下章会用到. 1. 集合的划分(partition) 1.6 集合的对等 集合的对等, 它是集合间的另一种关系. 通过集合对等以及相关内容的学习, 加深对函数概念的理解, 提高正确使用函数工具作为研究手段的能力. 1.集合对等(equivalent) Def A ~ B: 存在双射f : A ? B. (11)德摩根(De Morgan)律 Def 设?是集合A上的1元代数运算, *和?是A上的两个2元代数运算, 若对于任意x, y ? A, 均有下面两个等式成立: 则称这三种运算满足德?摩根律. 课堂练习 习题1.3 4. 作业 习题1.3 7, 11. Theorem 是包含A和B的最小集合. Theorem1-17 (并运算满足的性质) (1) (2) (3) (4) A ? ? = ? ? A = A (5) A ? U = U ? A = U 例1-38 设f : A ? B, X, Y ? A, 则 Proof (1) (2) 2. 交(intersection)运算 Theorem 是包含在A和B的最大集合. Theorem1-19 (交运算满足的性质) (1) (2) (3) (4) A ? ? = ? ? A = ? (5) A ? U = U ? A = A 例1-40:举例? Theorem 1-20(并运算与交运算之间所满足的性质.) (1)吸收性. (2)分配性. 例1-41(P20) 3. 补(complement)运算 例1-42 (A的补集依赖于全集U的选取.) A={a, b, c}: (1)U = {a, b, c, d} (2)U = {a, b, c, d,{a,b},{b,c},{{c}}} 排中律成立: ?. 排中律: ? x ? U, x ? A或 x ? A二者必居其一, 没有中间情况. 集合的补运算和集合的并交运算满足De Morgan律: 推广? 表(P25). (与布尔代数的性质完全类似?! 因为它们是特殊的, 常见的布尔代数.) 4. 差(subtraction)运算 例1-43 Theorem 1-23(P26) Proof 例1-45(P26) 例1-46 ?. 例1-47(P26) Solution 由上例知, A – (B ? C) = ? 5. 对称差(symmetric difference)运算 See Venn Figu