在实际应用中柯西积分公式的用途-正文讲解.doc

柯西积分公式的应用 姓名：武小娜 班级：2014级数学教育 学号：201430626 摘要:阐述了柯西积分公式在解析函数理论中的重要地位,叙述了各种不同表示形式的柯西积分公式和高阶导数公式,并举例说明了这些公式在积分计算中的应用. 关键词:解析函数;复积分;柯西积分公式. 1 前言 《实变函数与泛函分析》是综合性大学理工科的基础课程，其中柯西积分定理和柯西积分公式是基础，是关键，也是19实际最独特的创造，是抽象科学中最和谐的理论之一．许多重要的性质定理由它们直接或者间接推导出来的． 柯西积分公式是复变函数的基本公式，是解析函数的一种积分表达式，它深刻地反映了解析函数在解析区域内边界值与内部值的关系．柯西积分公式的基本理论和相关性质已经有了详细而全面的阐述．但柯西积分公式仍然存在一些有待解决和完善的方面．有些理论的证明比较复杂，为初学者带来了诸多的不便；柯西积分公式只给出了求解光滑周线域的复积分方法；已经证明了的理论给出的例题还不够．考虑到柯西积分公式是复变函数积分的基础，对其进行研究具有较强的理论意义和现实意义． 通过阅读大量的专著，期刊还有网上的资料，本文将对实变函数中的柯西积分公式和它的几个重要的推论的意义及其性质进行归纳总结，并举出相应的例子，化抽象为具体；还将对柯西积分公式的使用条件和使用方法进行总结；然后总结归纳参考文献中得到的结论，并试图将归纳得到的这些结论做进一步的推广；在论文的最后，会选取一些经典例题做供大家参考！为完成本文我查阅大量的相关资料，力求把课本上的知识运用到实践中去． 2 预备知识 2.1 柯西积分定理 设函数在平面上的单连通区域内解析，为内任一条周线，则． 2.2 推广的柯西积分定理 设是一条周线，为之内部，函数在闭域上解析，则 ． 2.3 复周线柯西积分定理 设是有复周线所围成的有界连通区域，函数在内解析，在上连续，则． 2.4 柯西积分公式 设区域的边界是周线(或复周线)，函数在内解析，在上连续，则有 ()． 3 柯西积分公式的推论 3.1 解析函数平均值定理 如果函数在内解析，在闭圆上连续，则 ， 即在圆心的值等于它在圆周上的值的算术平均数． 证：设表示圆周，则， 即 ， 由此 ， 根据柯西积分公式 3.2 高阶导数公式 设区域的边界是周线(或复周线)，函数在内解析，在上连续，则函数在区域内有各阶导数，并且有 这是一个用解析函数的边界值表示其各阶导函数内部值的积分公式． 现行教材中，仅应用数学归纳法证明了它的特殊形式——高阶导数公式，而数学归纳法比较繁琐．下面首先给出引理，然后利用该结论导出高阶导数公式一种简单的证明． 引理 设是一条可求长的曲线，是上的连续函数，对于每个自然数及复平面上的每个点，定义函数 那么每个在区域上解析，且 证明：首先证明是区域上的连续函数，即要证明，对于内的任意点，不论多么小，总存在，只要（在内的点），就有． 因为 (1) 所以 （2） 因为在上连续，所以存在某个常数，使得对于上一切点，．设与的距离为．那么对于任意及，有．于是有（2）得 ， 其中为曲线的长． 令 ． 取 ． 那么，当，就有． 其次证明在区域上解析，且满足，在内任取一点，设，由（1）得 ， 因为，所以对于满足不等式的每个，在上连续．根据前一部分的证明，上式右边的每个积分都在上定义了一个变量的连续函数，因此，当时的极限存在，即 ． 对于内的一切均成立． 下面使用这个引理证明高阶导数公式: 证明：由柯西积分公式，对于内的任意点，有 ，． 记根据引理， 即 ． 3.3 柯西不等式 设函数在区域内解析，为内一点，以为心作圆周，只要及其内部均含