第3单元 不定积分.pptVIP

第四章　不定积分 * * bellar@ 第一节　不定积分的概念与性质 第二节　换元积分法 第三节　分部积分法 第四节　有理函数的不定积分 第五节　积分表的使用 bellar@ 一、原函数与不定积分的概念 １、原函数定义：如果在区间Ｉ内， ， 或 则称 为 在Ｉ上的原函数。 原函数存在定理　如果 在区间Ｉ上连续，那么在 Ｉ上存在可导函数 ，使 简单地说：连续函数一定有原函数。 进一步地，初等函数在定义区间上一定有原函数。 说明：1、如果f(x)在区间I上有原函数，则f(x)就有 无限多个原函数。 2、原函数与原函数之间差一个常数。 F(x)+C表示所有原函数（C为任意实数）。 ２、不定积分的定义 　 在区间Ｉ上， 的带有任意常数项的原函数称为 在区间Ｉ上的不定积分，记作 　　　　　　　　　　　 其中 称为积分号， 叫被积函数， 称为被积表达式，x称为积分变量。 *由上式可知，求不定积分实际上只需求出一个原函数，再加上任意常数即可。 例４　设曲线通过点 ，且其上任一点处的切 线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的 方程。 例１　求 例２　求 例3 求 1 2 O x y 积分曲线 例5 以初速 将质点竖直上抛，不计阻力，求它的 运动规律。（即质点的位置关于时间的函数） 二、基本积分表：见课本第222页。 例6　求 例7　求 三、不定积分的性质 性质一　 或 　 性质二 或 先积后微，形式不变；先微后积，差个常数。 性质三 性质四 （k是常数，且 ） 例　求下列不定积分： 1、 2、 3、 4、 5、 6、 定理１　设f(u)具有原函数， 可导，则 当 比较难求时，可从 g(x)中分出部分作 为 ，还有一部分写成u的函数，那么就把求 的积分转化为求f(u)的积分。 　一、第一类换元法(凑微分法） 例１　求 例２　求 例3 求 例4 求 熟悉了换元公式后，就不用写出中间变量了。 例5 求 例6 例 7 求 例8 求 例9 求 例10 求 1、对于形如 的积分，可 按下面方法求得。 （1）m、n中至少有一个为奇数。现设n=2k+1 结论： （2）m、n都为偶数。 可用倍角公式降低次数 2、对于形如 的不定积分则采用积化和差的方法。 例11 求 例12 求 例13 求 例14 求 　二、第二类换元法 设 是单调的、可导的函数，并且 又设 具有原函数，则有换元公式 其中 是 的反函数 例1 求 例2 求 三角换元法 例3　求下列不定积分 三角公式: 结论：当被积函数中含有 、 、 时，可以考虑用三角代换消去根号。