第3单元 线性代数计算方法.pptVIP

第3章 线性代数计算方法 §1 高斯消去法 §2 矩阵的三角分解 §3 迭代法 ? §4 迭代法的收敛性 §1 高斯消去法 1.1 顺序消去法 如果线性方程组(3―1)的系数矩阵A具备某特殊形式,例如其为上三角矩阵 这时方程组(3―1)实际为 如此再解出xn-2,…,x2,x1,一般有 以上讨论告诉我们,对具有上三角形系数矩阵的方程组(3―4)求解极为方便。当然,若方程组(3―1)的系数矩阵为下三角形,则求解也很方便。于是对于一般形式的方程组(3―1),我们总设法把它化为系数矩阵呈上(或下)三角形的方程组来求解。为了达到目的,可利用消去法进行。现举例如下: 解方程组 作②-①消去②中的x1,作③-①×4消去③中的x1,则方程组(3―6)化为 从方程组(3―6“)的方程③解出x3,将所得的结果代入方程②求出x2,再把x3、x2同时代入方程①解出x1。这样可求出方程组的解为 上述求解方程组的方法就是高斯(Gauss)消去法。从式(3―6)到 (3―6)的过程称为消元过程而由(3―6)求出x3、x2、x1的过程称为回代过程。因此用高斯消去法求解性方程组要经过消元和回代两个过程。 在计算机上实现时,我们常把方程组右端的常数项排于系数矩阵的第n+1列,这样顺序高斯消去法的计算步骤为: 1.消元过程 对于k=1,2,…,n-1,若按顺序有某一ark≠0,r≥k,则交换k与r行,然后计算  2. 回代过程 对于k=n,n-1,…,2,1,计算 1.2 主元素消去法 前述顺序消去法是按序通过用a11,a(1)22,…,a(n-2)n-1 (a(k-1)kk≠0)作为除数来达到消元目的的。在实际计算时,由于舍入误差的影响,计算结果会改变很大,甚至于完全失真。例如用高斯消去法求解下列方程组(用四位有效数字计算): ②-①×10^5得 (1.000-1.000×105)x2=1.000-6.000×104 化简可得 x2=0.6000 回代求得 x1=105(0.6-0.6000)=0 而方程组的解应为 x1=0.4000 x2=0.6000 显然用上述方法求出的解x1与方程组的实际解相差很大。若改变两个方程的顺序,即 x1+x2=1 ① 10-5 x1+x2=0.6 ② ②-①×10-5得 (1000-1000×10-5)x2=0.6-1.000×10-5 化简得 x2=0.6000 回代求得 x1=(1-0.6000)=0.4000 高斯主元素消去法是顺序消去法的一种改进。它的基本思想是在逐次消元时总是选绝对值最大的元素(称之为主元)做除数,按顺序消去法的步骤消元。 这里主要介绍求解线性方程组最常用的列主元素消去法和全主元素消去法。 1.列主元素消去法 所谓列主元素消去法就是在每一步消元过程中取系数子矩阵的第一列元素中绝对值最大者作主元。对线性方程组(3―1)进行n-1次消元后,可得到上三角形方程组 必须指出的是方程组(3―13)中的系数aij(i≤j)和右端的bi已经改变了,并非与原来相同。这样就可对方程组(3―13)回代求解。 例1 用列主元素消去法解方程组 取四位有效数字计算。 解 ②中-18为主元,交换②和①得 ②+①×12/18,③+①×1/18得 ③+②×1/1167得 在计算机上求解时,前面已经讲过