第3单元 数值计算方法.pptVIP

第3章 数值积分 3.1 基本概念 3.2 牛顿-柯特斯公式 3.3 龙贝格算法 3.4 高斯公式  3.1 基本概念 1.求积公式的一般形式 我们知道，定积分是求和式的极限，即 。它的几何意义是曲边梯形的面积。从定义可知，定积分的基本分析方法是四步，即分割、近似、求和、取极限。分割就是把总量（整块曲边梯形面积）分成若干分量（小曲边梯形面积）；近似就是在每个分量中用容易计算的量去代表（这里是用矩形面积近似曲边梯形面积）；求和就是把分量加起来得到总近似值；最后取极限就得到积分精确值。 把区间［a，b］分割成n等分，分点 得到 复化左矩形公式 这些数值积分公式分别是在子区间△xk上用零次插值多项式p0(x)，一次插值多项式p1(x)，二次插值多项式P2(x)代替被积函数积分得到，为了讨论方便，我们取n = 1。这时： 2.插值型求积公式 如果我们已经有了求积节点xk(k=0，1，…，n)，我们可以把这些点当作插值节点，利用Lagrange插值方法，构造插值多项式Pn(x)，近似被积函数f(x)，得到插值型求积公式 3.代数精度的概念 在讲解代数精度的概念之前，我们不加证明地给出一个有关定理。 ? 定理1（Weierstrass定理）设f(x)是［a，b］上的连续函数，则对任意ε＞0，存在多项式p(x)，使对一切x(a≤x≤b)有|f(x)-p(x)|＜ε。 代数精度的概念是：假如（3.1）式的求积公式对f(x)=1，x，x2，…，xm恒精确成立， 而当f(x)=xm+1时就不精确成立，我们就称公式（3.1）的代数精度为m。 4.插值型求积公式与代数精度的关系 下面的定理建立了插值型求积公式与代数精度的关系。 ?? 定理2 式（3.1）的求积公式至少具有n次代数精度的充分必要条件是 它是插值型的。 3.2 牛顿-柯特斯公式 1.公式的导出 牛顿-柯特斯（Newton-Cotes）公式(以下统称为Newton-Cotes公式)是一种插值型求积公式。 2.偶阶求积公式的代数精度 因为n阶Newton-Cotes公式是一种插值型求积公式，故由定理2可知，它至少具有n次代数精度。 定理3 当阶数n为偶数时，Newton-Cotes公式至少具有n+1次代数精度。 3.Simpson公式的余项 首先，复习第一积分中值定理。若函数f(x)，g(x)在区间［a，b］上有界且可积，f(x)连续，g(x)在区间［a，b］内不变号，则在区间［a，b］内至少存在一个数ξ(a＜ξ＜b)，使得 3.3 龙贝格算法 在实际计算中为了保证计算的精度，往往首先用分点xk=a+kh, (k=0,1,…,n)将区间［a,b］分成n个相等的子区间，而后对每个子区间再应用梯形公式或Simpson公式，分别得到： 递推关系是数值方法的重要技巧，它具有结构紧凑和便于在计算机上实现的特点。 ［例2］用Romberg公式计算积分 解：按Romberg公式的求积步骤进行计算，结果如下： 把区间再分半，重复步骤(4)，可算出结果：T16=3.14094,S8=3.14159,C4=3.14159,R2=3.14159 至此得|R1-R2|≤0.00001，因为计算只用小数点后五位，故精确度只要求到0.00001。因此积分 3.4 高斯公式 一点Gauss公式是我们所熟悉的中矩形公式 其Gauss点x1=0。  定理5节点xk（k=1,2,…,n）是Gauss点的充分必要条件是，ω(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-xn)与所有次数小于等于n-1的多项式正交。即下列公式成立 * △ △ 图3-1 辛卜生公式的几何意义