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第3单元 时域离散信号和系统的z变换分析方法
Chapter 3 The Z plane transform analysis method of Discrete-time Signal and System 3.2 序列特性对收敛域的影响 一些有用的结论 收敛域中无极点,收敛域一般以极点为边界。 有限长序列Z变换的收敛域是整个z平面 右边序列Z变换的收敛域是在某个圆的圆外 左边序列Z变换的收敛域是在某个圆的圆内 双边序列Z变换的收敛域是环状域 如果X(z)zn-1在围线c内的极点用zk表示, 根据留数定理 例 2.5.6 已知X(z)=(1-az-1)-1, |z|a, 求其逆Z变换x(n)。 [例] 试用长除法求 的z反变换。 解:收敛域为环状,极点z=1/4对应因果序 列,极点z=4对应左边序列(双边序列) 用Matlab计算逆z变换 有理z变换的逆变换也可以用matlab计算。函数impz可以实现: [h,t]=impz(num,den,L); 我们也可以用函数filter实现: y=filter(num,den,x); 程序运算的结果与用长除法得到的结果是一样的。 3.4 Z变换的性质与定理 (1)线性性质 a1x1(n)+a2x2(n) a1X1(z)+a2X2(z) (2)时域移位性质 x(n-n0) 零点在单位圆上0, 处;极点在 , 处 。 例2.6.5 利用几何法分析矩形序列的幅频特性。 解: 观察上式,X(z)/z在z=0的极点留数就是系数A0,在z=zm的极点留数就是系数Am。 (2.5.11) (2.5.12) (2.5.13) (2.5.14) 求出Am系数(m=0,1,2,…N)后,很容易示求得x(n)序列。 设X(z)只有N个一阶极点,可展成下式 解:等式两端取双边 z 变换,得 所以 例 描述某系统的差分方程为 y(n)-4y(n-1)+3y(n-2)=x(n-1)+2x(n-2) 试求系统函数和冲激响应。 查表2.5.1得到其冲激响应为 例2.5.10 已知 ,求逆Z变换。 解 : 因为收敛域为2|z|3,第一部分极点是z=2,因此收敛域为|z|2(因果的右边序列)。第二部分极点z=-3,收敛域应取|z|3(逆因果的左边序列)。查表2.5.1得到 x(n)=2nu(n)+(-3)nu(-n-1) 表2.5.1 常见序列Z变换 用Matlab进行部分分式展开: 例:用matlab确定下面给出的z变换的部分分式展开: 采用下面Matlab程序:residue.m 在程序执行时要求用户输入分子和分母的多项式的系数num和den。我们以z的降幂在方括号中以行向量的形式输入。应用键盘输入如下字符: [18] (回车键) [18,3,-4,-1] (回车键) 0.5000 -0.3333 -0.3333 0.3600 0.2400 0.4000 留数 极点 (3) 乘以指数序列 (4) 初值定理 成立条件:x(n)是因果序列(即n≥0 ) (5) 终值定理 成立条件:①x(n)是因果序列(即n≥0 )②除可以有一个一阶极点在z=1上,其它极点均在单位圆内 对于逆因果序列x(n) (n ≦ -1) (6) 时域卷积定理 y(n)=h(n)*x(n) Y(z)=H(z)X(z) (7) 复卷积定理 w(n)=x(n)y(n) (8) 帕斯维尔定理 (9) 序列的翻褶 3.5 利用Z变换解差分方程 N 阶差分方程: 求解差分方程的方法: 方法1: 采用双边Z变换 (无初始状态或零初始态) 方法2: 采用单边Z变换 (有初始状态) 零状态响应 零输入响应 例 y(n)-ay(n-1)=x(n),式中x(n)=u(n), 试求 y(n) 。 收敛域为|z|max(1,|a|) 收敛域为|z|max(1,|a|) 例 y(n)-ay
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