第二矩阵及其运算.pptVIP

第二章 矩阵及其运算 矩阵的基本概念 例2 三. 逆矩阵 四、分块矩阵 （3）若 、 为同阶方阵且均可逆， 则 亦可逆，且 （4）若 可逆，则 也可逆，且 （5）若 可逆，且 ，则 例3 求方阵 的逆矩阵． 解 所以 存在，且 而 类似可得 从而 例4 设 为4阶方阵， ， 求 的值. 解 因为 ，所以 可逆，且 所以 例5 设 均为 阶可逆矩阵，证明 证 （1）由 可知， （1） （2） 为可逆矩阵. 又 所以 （2） 由 从而 可得 将矩阵 用若干条横线和竖线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为 的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵． 1.概念 例如：对于矩阵 分成子块的分法很多 上面只举出了两种分块形式 即 、 、 为 的子块，而 形式上成为以这些子块为元素的分块矩阵. 可记为 对上述第一种分法 （1）加法 ：设同型矩阵 与 有相同的分块法 2.分块矩阵的运算 与 也是 同型阵 则 （2）数乘 用数 乘一个分块矩阵时，等于用 去乘矩阵的每一个块，即 设 为 矩阵， 为 矩阵，分块成 其中 ， ， ， 的列数分别 等于 , , , 的行数 （3）分块矩阵的乘法 其中 则 （4）分块矩阵的转置 设矩阵A可写成分块矩阵 则矩阵 的转量阵 为 （5）分块对角矩阵 设 为 阶方阵，若 的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块，其它子块都是零矩阵，且非零子块都是方阵，即 其中 都是方阵，则称为分块对角矩阵． 设 其中 ， 是同阶的子方块 等于多少呢？ 例1 设矩阵 求 及 解 令 则 所以 由于 例2 设 阶方阵 与 阶方阵 都是可逆矩阵， 求 解 令 有 于是 解此得 所以 上式可以作为公式应用. 如 等 矩阵按行分块和按列分块 矩阵 有 行，称为矩阵 的 个行向量．将第 行记作 这里列向量（列矩阵）常用小写黑体字母表示 而行向量（行矩阵）则用列向量的转置表示 如 等 注： 则矩阵 可记为 同理也可以按列分块，此时 对于线性方程组 此方程组可记作 若将系数矩阵按行分成 块，则线性方程组 这就相当于把每个线性方程记作 可记成 对于矩阵 与矩阵 的 乘积 ，若把 按行分成 块， 把 按列分成 块，便有 其中 另外，若记 则 则 故 称为 阶单位矩阵 简记作 形如 的 阶方阵 记作 二. 特殊矩阵 单位矩阵 特点： 从左上角到右下角的直线（即主对角线）上 的元素都是1，其他元素都是0，即单位矩阵 的第 行第 列的元素 结论： 的 阶方阵称为对角矩阵 形如 记作 特点：主对角线上以外的元素全是零． 对角矩阵 性质： （1） （2） （3） （4） 其中 为正整数. 特别地，主对角线上元素都相等的对角矩阵 称为数量矩阵 即 记作 设 为任一 阶方阵， 为任一 阶数量矩阵 即 阶数量矩阵与任一 阶方阵 相乘可交换． 则 当 时，数量矩阵即为单位矩阵． 例1 设 计算 （n为正整数） 解 其中 显然 因数量矩阵 与 可交换，所以利用二项式 定理得到 形如 的矩阵称为上三角矩阵 特点：主对角线的左下方的元素全为零． 3.三角矩阵 其中*表示主对角线上方的元素，即两个同阶的上三角矩阵的乘积仍为上三角矩阵 直接验证可知 类似地，我们同样可以定义下三角矩阵， 也就是：主对角线右上方的元素全为零 矩阵，它具有与上三角矩阵类似性质． 例如 ： 性质： （1） （2） （3） （4） 4.转置矩阵 证 性质（1）－（3）是显然的，这里仅给 出（4）的证明. 设 记 于是按矩阵乘法的定义，有 而 的第 行为 的第 列为 所以 即 亦即 由（4），根据数学归纳法可证 因此 那么 称为对称矩阵； 则称 为反对称矩阵． 设 为