第3单元 矩阵的初等变换与线性方程组.pptVIP

第一节 矩阵的初等变换 第三节 矩阵的秩 第四节 线性方程组的解 方程组的通解，自由度为n-r，r越小，解的自由度越大 2、齐次方程方程组 齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解； 非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解； 3、求解线性方程组步骤: 解 例 2 例3 解： …… 小结 1. 单位矩阵 初等矩阵. 一次初等变换 2. 利用初等变换求逆阵的步骤是: 一、矩阵秩的概念 二、矩阵秩的求法 三、矩阵秩的一些结论 矩阵的秩 一、矩阵秩的概念 1. 矩阵的子式 k阶子式(k≤{m,n})： 任取k行、k列交叉得到的 矩阵的行列式 相应的位置保持不变 2. 最高阶非零子式和秩 A的秩＝A的最高阶非0子式的阶＝R(A) 或 r(A) 例1 解 例2 解 问题：经过变换矩阵的秩变吗？ 二、矩阵秩的求法 1、 初等变换求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩. 2、 显然，非零行的行数为2， 例4 解 A …… 得 取行阶梯形中的1、2、4列及1、2、3行对应于原矩阵中的行和列，即可得到A的一个最高阶非0子式 注：求解最高阶非0子式时，应注意初等变换过程中行、列的对换情况。 例5 解 分析： …… 1、n阶方阵A可逆 2 三、矩阵秩的一些结论 3、 4、 5、Sylverster不等式: 例1 例2 例3 矩阵的秩的性质 1. 2. 3. ～ 4. 5. 6. 7. (见下节) 8. (见下节) 一、线性方程组有解的判定条件 二、线性方程组的解法 线性方程组 系数矩阵为 线性方程组可记为： 相容线性方程组。 （不） 一、线性方程组有解的判定条件 1) m=n 时,A是n阶方阵,若 |A| 则可用克莱默法则求解,或用A的逆矩阵表示解. 0, 2) 对一般的情况如何判定有没有解?有解时如何求解? 问题： 1、非齐次线性方程组 推：若方程组的个数小于变元的个数，则不可能有唯一解。 则方程组： 1）无 解 2）唯一解 3）无穷解 证：（充分性） … O n n个 m-n个 第*页 共92页 第页，共92页 第 三 章 矩阵的初等变换 与线性方程组 一、消元法解线性方程组 二、矩阵的初等变换 1、引例 求解线性方程组： 一、消元法解线性方程组 解： 1) 消元 2) 回代 （4个未知数3个方程，无穷解。可取每一行的第一个未知数为非自由未知数，进行回代） (B4) 则 （2） 解得 方程组的同解变换(消元过程)： 1）对换两个方程 3） 2） 对增广矩阵 B = ( A | b ) 进行相应的三种初等行变换 (B4) (B1) 行阶梯形： (B4) (B5) 行最简形 对增广矩阵（A | b）施行初等行变换，变成行最简形。 方程组的求解 注意： 初等列变换不能求解方程组，因为列变换是对变元进行变换，并不是方程的同解变换。 1） 2） 3） j i kr r + 初等变换的逆变换 行等价： 列等价： 等价： 性质： 矩阵的等价关系 A ～ B 反身性、对称性、传递性 标准形： 如： 初等矩阵的概念 单位矩阵 经一次初等变换得到的矩阵 1、定义 2、三种初等矩阵 三种初等变换 三种初等方阵 j i r r ? 1) | 1 (k 0) 2) | 3） | )) ( ( n k ji AE 定理1 1）行变换，A’为A左乘相应的m阶初等矩阵 2）列变换，A’为A右乘相应的n阶初等矩阵 初等矩阵均可逆，且逆都是同类的初等矩阵： 初等矩阵的转置仍为初等矩阵； 解： 记 B＝ 定理2 证: A可逆 存在有限个初等矩阵 (充分性 ) (必要性 ) 显然. 证明： 推论1 A可逆 A经有限次初等行变换 E 可逆矩阵的行最简型为E 初等行变换 同理，对方程组 ▲若A可逆 （作业） 推论2