第3单元 线性定常系统的线性变换.pptVIP

第三章 线性定常系统的线性变换 3.1 状态空间表达式的线性变换 几种常用的线性变换关系1 化A阵为对角阵  ⑴ 设A阵为任意方阵。且有n个互异实特征值 λ1，λ2，…，λn，则可由非奇异线性变换化为对角阵Λ。 ⑵ 若A为友矩阵，且有n个互异实特征值λ1，λ2，…，λn，则下列的范德蒙特矩阵P可使A对角化： 2 化A阵为约当型 pm+1, pm+2, …, pn是互异特征值对应的实特征向量。 ⑶ 设A阵具有五重实特征值 λ1，且只有两个独立实特征向量p1, p2, 其余为n-5个互异时特征值，A阵约当化的可能形式如下，式中，J中虚线表示存在两个约当块。 3 化可控系统为可控标准型 任何一个可控系统，当A，b 不具有可控标准型时，一定可通过适当的变换化为可控标准型。 推导变换矩阵P： 整理后得 即 ① 计算可控性矩阵S＝[b Ab … An-1b ]; ② 计算可控性矩阵的逆阵S-1, 设一般形式为 3.2 对偶原理 利用已知的化可控标准型的原理和步骤，获得可观测标准型的步骤： ⑷ 求P-1，引入P-1变换 3.3 非奇异线性变换的不变性 1 变换后系统特征值不变 变换后系统的特征值为 2 变换后系统传递矩阵不变 3 变换后系统可控性不变 变换后系统可控性矩阵的秩为 4 变换后系统可观测性不变 变换前后系统的可观测性矩阵的秩相等，故系统的可观测性不变。 3.4 线性定常系统的结构分解 定义、意义、方法和过程 1 系统按可控性分解 展开式（3－251），有 系统结构的可控性规范分解具有下列特点：⑴ 由于 设一个可控性规范分解系统为 设另一个可控性规范分解系统为 故 例3－32 已知系统（A，b，c）如下，试按可控性进行分解。 续 2 系统按可观测性分解 对式（3-261）进行非奇异线性变换 展开式（3－265），有 例3-34 试将例3－32所示系统按可观测性进行分解 可观测子系统动态方程为 3 系统结构的规范分解（按可控性、可观测性分解） 综合上面三次状态变换，有下列状态变换关系 展开上式可得可控、可观测子系统动态方程为 例3-35 设不可控且不可观测定常系统的动态方程为下式，试将系统按可控性或可观测性分解为规范型，然后再按可控性与可观测性对系统进行结构分解。 选取系统变换为可控规范的变换阵 故有 2） 系统按可观测性分解。确定系统可观测状态维数： 由变换阵T确定的可观测规范型为 3） 系统按可控性、可观测性分解 在上述系统按可控性分解的规范型中，可控子系统的可观测性矩阵为 引入变换，对按可控性分解后的系统再按可观测性进行分解，得 解 计算 可观测性矩阵的秩 故不可观测，从中选出两个线性无关的行，附加任意一行，构成非奇异变换矩阵T并计算变换后各矩阵 不可观测子系统动态方程为 先对系统进行可控性分解，即引入状态变换 式中 基于系统可控性矩阵来构造。继而对可控子系统进行可观测性 分解，即引入状态变换 其To1基于可控子系统得可观测性矩阵来构造。最后对不可控子系统进行观测性分解，即引入状态变换 设不可控、不可观测系统动态方程如下， 其To2基于不可控子系统的可观测性矩阵来构造。 当系统（A、B、C）引入该 T-1 变换后，能将系统变换为下列规范构造形式 可控、不可观测子系统动态方程为 不可控、可观测系统动态方程为 不可控、不可观测系统动态方程为 系统的特征值由 矩阵的特征值集合而成。系统传递函数矩阵 传递函数矩阵仅描述可控、可观测子系统的特性。是对系统结构的一种不完全描述。 只有当系统可控且可观测时，输入-输出描述才足以表征系统的结构，即描述是完全的。 解 1）系统按可控性分解。首先确定系统可控状态的维数。系统可控性矩阵为 rankS = 2 ，系统不可控，起可控状态维数为2 其中p3是任选的，并与b,Ab线形无关的列向量，求得 由变换阵P确定的可控规范型为 其中可控子系统为 不可控子系统为 系统不可观测，其可观测状态维数为2。 选取可观测规范型的变换阵， 求得 其中可观测子系统为 故有 不可观测子系统为 * * 本章介绍常用的线性变换方法，以及非奇异线性变换的一些不变特性。 在前面学习建立系统动态方程时已经看到，选取不同的状态变量，可以得到不同形式的动态方程。若两组状态变量之间用一个非奇异矩阵联系着，则两组动态方程的矩阵与该非奇异矩阵有确定关系。 设系统动态方程为 令 式中，P为非奇异线性变换矩阵，变换后的动态方程为 式中 并称对系统进行P变换。 线性变换的目的：揭示