第极限与连续.pptVIP

四、小结 * 第1章极限与连续 1.1 初等函数. 1.2 函数的极限. 1.3 函数极限的运算. 1.4 函数的连续性. 1.1 初等函数 主要内容： 1.函数. 2.复合函数. 3.初等函数. 一、函数 1.定义： 设D是一个非空实数集， 若对于D中每一个数x， 按照某个对应关系f，总有确定的实数y与之对应，则称y是x在D上的函数，记作：y=(x).数集D称为这个函数的定义域. 有时会遇到给定一个x值,对应的y值有多个的情形,为了叙述方便称之为多值函数.若y值唯一,称之为单值函数.对于多值的情形,我们可以限制y的值域使之成为单值再进行研究. 例1 解 例2 解 分段函数：在定义域的不同范围内用不同的解析式表示的函数. 例如，函数 对分段函数求函数值时,应把自变量的值代入相应范围的表达式中去. 例3 解 2.函数的两个要素： 函数的定义域和对应法则. 当函数的定义域和函数的对应关系确定以后，这个函数就完全确定了． 因此，常把函数的定义域和函数的对应关系叫做确定函数的两个要素． 两个函数只有当它们的定义域和对应关系完全相同时，这两个函数才认为是完全相同的． 解 显然，只有在 时， 所以这两个函数在实数集上是不同的． 它们的对应关系才相同， 3.函数定义域的求法： 在考虑实际问题时，应根据问题的实际意义来确定函数的定义域。对于用函数式子表示的函数，它的定义域应使函数表达式本身有意义. （1）在分式中，分母不能为零； （2）在根式中，负数不能开偶次方根； （3）在对数式中，真数不能为零和负数； （4）在反三角函数式中，要符合反三角函数的定义域； （5）如果函数表达式中含有分式、根式、对数式及反三角函数式，则应取各部分定义域的交集. 解 4．反函数 定义： 习惯上用x表示自变量，y表示因变量． 因此函数y=f(x)的反函数可表示为 的图象关于直线y=x对称. 函数y=f(x)的图象与其反函数 求反函数的一般步骤： 解 5．函数的简单性态 (1) 函数的单调性 (2) 函数的奇偶性 y x o x -x y x o x -x 解 (3) 函数的有界性 注意 有可能出现以下的情况：函数在其定义域上的某一部分是有界的，而在另一部分是无界的，因此，讲一个函数是有界的或无界的，必须指出其相应的范围． (4) 函数的周期性 定义 若周期函数存在最小正周期，则称此最小正周期为基本周期，简称周期． 例如， 二、复合函数 1．基本初等函数 我们已学过的幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数. (-∞,0) 和 (0,+∞)内分别递减 单调增 (-∞,0]内递减 [0,+∞)内递增 单调增 单调性 奇函数 非奇非偶 偶函数 奇函数 奇偶性 (-∞,0) ∪ (0,+∞) [0,+∞) [0,+∞) (-∞,+∞) 值 域 (-∞,0) ∪ (0,+∞) [0,+∞) (-∞,+∞) (-∞,+∞) 定义域 图 像 函数 o y o o o y y y x x x x 单调减 单调增 单调减 单调增 单调性 (-∞,+∞) (-∞,+∞) (0,+∞) (0,+∞) 值 域 (0,+∞) (0,+∞) (-∞,+∞) (-∞,+∞) 定义域 图 像 0a1 a1 0a1 a1 函 数 o y o o o y y y x x x x 1 1 1 1 　三角函数 单调减 单调增 单调减 单调增 单调减 单调增 单调减 单调减 单调减 单调增 单调增 单调减 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 奇偶性 T= T= T= T= 周期性 单调减 单调增 单调增 单调增 (-∞,+∞) (-∞,+∞) [-1,1] [-1,1] 值 域 (-∞,+∞) (-∞,+∞) 定义域 图 像 y=cotx y=tanx y=cosx y=sinx 函 数 o y o o o y y y x x x x 反三角函数 单调减 单调增 单调减 单调增 单调性 f(-x)=-f(x) f(-x)=-f(x) f(-x) 值 域 (-∞,+∞) (-∞,+∞) [-1,1] [-1,1] 定义域 图 像 y=arccotx y=arctanx y=arccosx y=arcsinx 函数 o y o o o y y y x x x x 1 1 -1 -1 2．复合函数 定义 例如， 为了研究的方便，往往把一个比较复杂的函数分解成几个比较简单的函数的复合．要把复合函数分解好，必须把基本初等函数的形式记住． 例8 指出下列复合函数的复合过程： 解 *