第5单元 非线性方程的数值解法.pptVIP

定理5.3 设函数f (x)在区间[a，b]上存在二阶导数，且满足下列条件： 在[a，b]上不为零； 在[a，b]上不变号； (4)在[a，b]上任意选取满足条件 的初始近似值x0。 则有牛顿法产生的序列{xk}单调收敛于方程f (x)=0在[a,b]上的唯一根 3 牛顿迭代法源程序（newtoniter. m） clear；format long x0=input(‘x0=?’)；N=input(‘N=?’)； TOL=input(‘TOL=?’)；k=1；flag=0； While n=N fdot=f’(x0)； if fdot= =0 flag=0；break end x1=x0－f(x0). / fdot； if abs(x1－x0)tol flag=1； break end if n= =N flag=2； break end n=n+1；x0=x1； end if flag= =0 ‘This equation has no solution’； else if flag= =1 ‘p=’，x1 else ‘This method failed after N iterations, N=’，N end 例 5.5 用牛顿法求解非线性方程 解：牛顿迭代公式为： 所以方程 在[0，1]内 有解。取初始值x=0.5，计算结果如下： 与例5.4相比可知，牛顿迭代法的收敛速度与加速迭代法一样快。 例5.6用牛顿迭代法（5.5－2）式计算的 近似值。 解 的精确值为2.4494897。 则方程 的解就是 的近似值。 所以方程 在[2，3]内有解。 牛顿迭代公式如下： 取初值x0=2.5，计算结果如下： 由牛顿法的收敛性定理5.3可知，牛顿法对初始值的选取要求是很高的。一般而言，牛顿法只有局部收敛性。当初始值取得离根p太远时，迭代将发散，而一旦xk进入收敛域内，牛顿法就有平方收敛的速度。为了扬长避短，扩大初始值x0的选择范围，下面介绍牛顿法的一种改进方法—牛顿下山法。 4. 牛顿下山法 将牛顿迭代公式（5.5－2）修改为： （5.5－4） 其中，λ是一个参数，且 称为下山因子。适当选取下山因子 可以使单调性条件 （5.5－5） 成立。 下山因子λ的选择是个逐步探索的过程，从λ=1开始反复将因子λ的值减半进行计算，一旦单调性条件（5.5－5）成立，则称“下山成功”；否则，如果在上述过程中找不到使条件（5.5－5）成立的下山因子λ，则称“下山失败”，这时需要另选初值x0重新计算。 例5.7 已知非线性方程 的一个根为p=1.32472。若取初值x0 =0.6，用牛顿法 计算得到的第一次近似值为x1=17.9，反而比x0 =0.6更偏离了根p。 若改用牛顿下山法： 计算，仍取x0 =0.6，从λ=1 开始逐次有哪些信誉好的足球投注网站，当有哪些信誉好的足球投注网站到下山因子 由牛顿下山公式 （5.5－4）得到的计算值 已满足条件（5.5－5），即 因而牛顿下山法修正了原 来x1=17.9的严重偏差，使迭代收敛。计算结果如表5.3所示： 1.32472 1.32628 1.36681 1.14063 0.6 xk 1 1 1 1/32 1 λ 4 3 2 1 0 k 由例5.7的分析可以知道，如果初值x0的选取偏离根p太远，从而使迭代计算的值x1偏离根p更远，那末就可采用牛顿下山法，逐次将下山因子减半，重新计算x1的值，即 并判断单调性条件 是否成立。若条件仍不成立， 再将 λ减半，重新计算x1，直到单调性条件成立为止，这样即可将第一次迭代计算的值x1出现的偏差得到修正，使之进入根p的收敛区域之内 ，以后的迭代过程，下山因子λ恒定为1。 5.6弦截法 牛顿法的突出优点是收敛速度快，但也有明显的缺点，这就是需要提供导数值f ’(xk)。如果函数f (x)=0比较复杂，致使导数的计算困难，那末用牛顿法公式是很不方便的。 1.为了避开导数的计算，可以改用差商 来代替牛顿公式 （5.5－2）中的导数，从而得到下列的离散形式： （5.6－1） 这个公式是根据f (x)=0的等价形式： （5.6－2） * 第5章 非线性方程的数值解法 5.1问题背景——人口增长问题 设N (t)表示t 时刻人口数量，而λ表示人口固定出生率，那么人口满足下列微分方程： (5.1－1) 上述方程的解为： (5.1－2) 其中N0表示初始人口数量。 (5.1－2)式表示的人口指数模型只有当人口是封闭没有迁移时是有效的。如果允许以固定速率 迁移，那么微分方程应改为： (5.1－3) 该微分方程的解为： (5.1－4) 假