第5单元 边值问题.pptVIP

第五章 静态场的边值问题 主要内容 静电场边值问题和唯一性定理 直接积分法 分离变量法 ※ 镜像法 ※ 保角变换法和有限差分法(自学) 静电场的边值问题 一般情况下电位或场强满足两个方程 无源——Laplace’s Equation 有源——Poission’s Equation 边值问题：在给定边界条件下求解偏微分方程 Poission’s Equation+边界条件 Laplace’s Equation +边界条件 边值问题的分类 第1类: 已知整个边界上的电位 Dirichlet Problems 狄理赫利问题 第2类: 已知整个边界上电位的法导 Neumann Problems 纽曼问题 第3类: 已知部分边界电位+另一部分边界电位法导 Hybrid Problems 混合问题 §5.3 一维场——直接积分 例1. 求同轴线中的电场分布，已知半径a和b，电位U和0。书P118 例5.1 在柱坐标系下，将拉普拉斯方程展开 例 2 已知：导体球，半径a，球体电位U (基准?) 求：球外的电位？ 分析： 球对称！——采用球坐标系且 有几种方法可以求“电位”？在此用拉氏方程 例3. 书p119例5.2 填充了两种介质的同轴线，求电位。 还已知内外导体的电位 利用对称性，电位与j、z座标无关，仅与r相关 柱座标系下拉氏方程 内容包括 二维拉氏方程 直角坐标系下 柱坐标系下 未包括： 二维球坐标系下拉氏方程 三维Laplace方程求解 泊松方程（非齐次方程）求解 分离变量法的主要思想 将方程中含有各个变量的项分离开来，从而原方程拆分成多个更简单的只含1个自变量的常微分方程； 运用线性叠加原理，将非齐次方程拆分成多个齐次的或易于求解的方程； 利用高数知识、级数求解知识、以及其他巧妙方法，求出各个方程的通解； 最后将这些通解“组装”起来。 确定Y和Z通解的步骤类似 最后再将X、Y、Z的通解“组装”在一起 最后代入边界条件确定待定常数 一、求解矩形区域的Laplace方程 微波导和光波导器件的 横截面常是矩形, 其中的电磁场模式多是横电波或横磁波, 即电场或磁场不沿着波导的长度方向改变，而只随横截面的坐标变化; 此时求解矩形区域的Laplace方程是研究波导中场量和模式的重要手段。 举例. 如图的波导中求解电位 上式构成本征值问题，不难求出： 例2. 书124页的例5.3 …… 简化的步骤（2） 判断解的形式 求特征值，写出通解形式 代入边界，求待定系数 写出问题的解 二、求解柱坐标系下的Laplace方程 在最常见的微波传输线(铜轴线)和最常见的光传输线(光纤)中，横截面都是圆形，其中的电磁场模式也大多是横电波或横磁波，即电场或磁场不沿着波导的长度方向改变，而只随横截面的坐标变化； 此时求解圆形区域的Laplace方程是研究场量和模式的重要手段。 求解柱坐标系下的Laplace方程 电位只与 r 有关 电位只与 r、z 有关 电位只与 r、j 有关 只与 r、z 有关的Laplace方程 3. 电位只与 r、j 有关 一般解为： 1)如果考虑圆内问题则其解为 2)如果考虑圆外问题则其解为 3)如果考虑是圆环问题，则其解为一般解，其中的系数由边界条件确定。 例2. 书p136例5.6 三. 球坐标系下的二维Laplace方程 电介质中的镜像 结论： 边界条件： 对称性： 拉氏方程 q*＝－q “像点”——q*：满足“导体板”存在时的条件 ——满足！ ——满足！ ——满足！ 由唯一性定理知…… 第二类镜像法：柱面镜像 像？——线电荷——“电轴” 位置？——柱内、与线电荷平行 分布？——密度设为p* 假设： 导体圆柱面上任一点M 电磁场与电磁波 北京邮电大学 r 0 代入边界条件: r=a时y=U，r=b时y=0，C1=?, C2=? 球座标系下展开： 直接积分得： 确定两个待定常数——边界条件 r=a时y=U，r=∞时y=0，C1=?, C2=? 需要几个边界条件？ §5.4 分离变量法求解拉氏方程 笛卡儿坐标系中分离变量法求解 令： 两边同时除以： ——三项中每一项必须是常数！ 令： 的求解 1. 如果 (k为正实数) 2. 如果 3. 如果 (k为正实数) 求解v(x,y) 设解为： 代入上面关于v的方程得： 先求解哪一个？？？ ——与齐次边界有关的那个。 本征值为： 本征函数为： 将本征值ln代入 Y 的方程，可得通解： 于是由叠加原理得到v的通解为： 将另一对边界条件代入方程的通解得： 上两式实际上是u0和U0展开后的正弦级数, 于是 联立上两式可得An和Bn, 从而原方程的解得以确定。 上题中边界处的电位分布 探讨一下边界处分布函数的形状： ★ 当μ=0时： ★ 当μ0时： 若要在圆柱上下底面满足齐次边界条件