第8单元 杆系有限单元(已排).pptVIP

第8章　杆梁结构的有限单元法 8.1　杆梁结构的单元划分 　　杆梁结构的单元划分一般都按杆梁的自然连接进行，即两铰接点之间的构件为一个单元，当然，对于梁结构，考虑到集中载荷作用点、截面变化点和分布载荷突变点应设置节点，也可将一根梁构件划分为多个梁单元,如上图中的梁结构。 8.2　杆单元刚度矩阵 　　由于杆梁问题有解析解，所以杆梁单元无需假设近似函数作为位移函数，其刚度矩阵可直接按材料力学的基本公式，建立平衡推得，如绪论介绍的实例所示。但为了统一有限元分析的格式，这里仍按有限元的基本格式推导，其结果是相同的，亦即杆梁单元的有限元解是精确解。 2、应变矩阵 3、刚度矩阵 8.3　纯弯曲梁单元刚度矩阵 　　利用两个节点坐标可带定四个系数，并整理为插值 函数形式： 2、应变矩阵 将形函数代入几何方程得： 3、刚度矩阵 由： 注意： 8.4　拉压-弯曲梁单元刚度矩阵 　　当梁单元受到拉压和弯曲综合作用时（称平面刚架梁单元），单元的节点位移向量和节点力向量为： 8.5　空间梁单元刚度矩阵 8.6　坐标变换 设节点i的位移在局部坐标上的分量为ui，vi，wi，则在整体坐标的分量为: 可以证明[t]或[T]是正交矩阵，即它的逆等于其转置 8.7　整体刚度矩阵的组装 　　将各个单元在整体坐标下的单元刚阵对号入坐，即可形成总刚 ： 　　平面刚架单元每个节点有3个自由度，共有3*6=18 个自由度。 * * 杆梁结构的有限元法 　　杆梁结构是指长度远大于其横断面尺寸的构件组成的系统。在机械、建筑等领域承担着重要角色。根据构件两端的连接形式和载荷作用点不同，导致构件内的受力状态不同，从而将构件分为杆和梁。在结构力学中常将承受轴力或扭矩的杆件称为杆，而将承受横向力和弯矩的杆件称为梁。在有限元法中将上述两种单元称为杆单元和梁单元。实际中，由杆件组成的平面和空间结构系统，其上的受力往往是轴力、扭矩、横向力、弯矩联合作用，杆件的轴线方向也是相互交错，因此，对杆件系统的分析，必须涉及杆单元与梁单元的组合，以及单元矩阵从局部坐标到总体坐标的转换。本章讨论： 　　1、杆梁结构的单元划分 　　2、只承受轴力的杆单元、承受横向力和弯矩的梁单元 　　3、承受轴力、横向力、弯矩联合作用的梁单元 　　4、单元矩阵从局部坐标到总体坐标的转换 　　5、单元刚度的集成。 载荷突变点必须设置节点 截面变化点必须设置节点 　　假设杆只承受轴向力，只有轴线方向的位移和变形，不受剪力，同时，假设杆单元中间没有外力，即外力只能作用于节点上。所以，每个节点只有一个自由度，单元有两个自由度。常称为轴力杆单元。 1、位移函数 待定系数可得到 　　假设杆只承受扭矩，只有绕轴线扭转变形，即自由扭转，所以，每个节点只有一个回转自由度，单元有两个自由度。常称为扭力杆单元。实际结构中，除圆截面杆外，其他截面的杆扭转变形后，截面不再保持平面，会发生翘曲；同时，很多截面受扭转变形时，并不是绕截面形心转动，会复杂的多。 　　如图为只受扭转的杆单元。同上分析，只需将相应的变量和符号进行替换，可得扭力杆的刚度矩阵： 1、位移函数 据材料力学可知，转角与扰度存在如下关系： 　　设x轴与梁单元重合，梁的主惯性轴为y，外载作用于同一平面内，则梁单元处于平面弯曲状态。每个节点两个自由度，即y向线位移和绕z轴的转角，节点力和节点力矩如图所示。节点力和节点位移向量为： 　　梁单元弯曲变形时，若忽略剪切的影响，则由材料力学得x方向的位移及应变为： 　　其刚度矩阵可直接迭加得到（当然，必须先将矩阵扩大为6x6的矩阵） 杆单元扩大刚度矩阵 弯曲梁单元扩大刚度矩阵 刚度矩阵为： 　　其刚度矩阵类似上述受拉压-弯曲综合作用的梁单元刚阵的形成，可迭加得：（也可据刚度矩阵元素的物理意义，从材料力学得到） 　　对于空间梁单元，每个节点有六个自由度，设x轴为单元轴线，节点位移和节点力向量为： 第1行，对应只有ui=1，其他自由度位移为0时，在相应自由度上的受力（只有轴线方向受力）；即受拉压作用的杆单元刚阵； 第2，3行，vi=1,(或wi=1)，其他自由度位移为0时，即单垮超静定梁因杆端位移产生杆端力的情况， 第4行，即杆纯扭转情况， 第5，6行，即单垮超静定梁因杆端位移产生杆端力的情况，纯弯曲。 （以上矩阵元素均可从材料力学公式中查得） 设单元在局部坐标系下的形式为： 单元在整体坐标系下的形式为： 　　前述的杆梁单元节点位移、节点力及刚度矩阵都是建立于局部坐标系，坐标方向由单元方向确定。但在实际结构中，由于构件的轴线都是纵横交错的，因此，为了便于整体分析，必须将局部坐标系下的节点位移、节点力和刚度矩阵变换到统一的整体坐标