应力状态分析和强度理论概要.ppt

材料力学 p.* 材料力学 应力状态分析和强度理论 stress state and Theory of strength 一．应力状态概述 1．点的应力状态： 杆件中不同横截面上的内力一般不相同，同一横截面上不同点的应力一般不相同，同一点不同方位的截面上的应力一般不相同，这种应力情况即为点的应力状态； 图7-1 围绕一点且各边是无穷小的正六面体称单元体；初次截取的单元体一般包括横截面和纵截面；单元体各个面上的应力是均布的，平行面上的应力性质是相同的，即应力大小是相等的，正应力的指向都是拉或都是压，剪应力的方向为使单元体有相同的转向；见图7-1； 2．用单元体表示点的应力状态： 一．应力状态概述 3．基本变形中点的应力状态初步分析： 图7-2 A B P P P P A B A B σ σ σ σ σ σ σ σ (1) 轴向拉伸和压缩：见图7-2； 应力计算公式是： 一．应力状态概述 3．基本变形中点的应力状态初步分析： 应力计算公式是： A A B M M B A B 图7-3 τ τ τ τ (2) 扭转：见图7-3； 一．应力状态概述 3．基本变形中点的应力状态初步分析： 应力计算公式是： P A B C A B C A C B 图7-4 A B C σmax σ τmax τ σ σmax τ τmax (3) 弯曲：见图7-4； 一．应力状态概述 4．主平面和主应力： 剪应力为零的平面为主平面；主平面上的正应力称主应力，按代数值大小顺序排列分别是σ1 、σ2和σ3； 5．应力状态的分类： 单向应力状态：只有一个主应力不为零； 二向应力状态：只有二个主应力不为零； 三向应力状态：三个主应力均不为零； 二．二向应力状态分析-解析法 1．应力分量及其符号的规定： 应力分量是σx 、σy和 τxy(τxy和τyx大小相等)；正应力规定与截面外法线方向一致为正，反之为负；剪应力规定对单元体内任一点的矩顺时针为正，反之为负； 见图7-5； 图7-5 n σx σx σx σx σy σy σy σy τxy τxy τxy τxy τyx τyx τyx τyx σα τα α α 二．二向应力状态分析-解析法 2．斜截面上的应力： n dA dAsinα dAcosα 图7-6 σx σy τxy τyx σα τ τα α α α 见图7-6； 列出平衡方程： 二．二向应力状态分析-解析法 2．斜截面上的应力： 由剪应力互等定理： τxy=τyx整理得： n σx σy τxy τyx σα τ τα α α …………（1） 二．二向应力状态分析-解析法 3．主平面的位置： 取正切函数的主值： 另一个值是： 令 n σx σy τxy τyx σα τ τα α α …………（2） 二．二向应力状态分析-解析法 4．主应力的值： 将主平面位置的值代入正应力计算公式得： n σx σy τxy τyx σα τ τα α α ………（3） 二．二向应力状态分析-解析法 5．正应力的极值： 令 ，得 由此可见，主应力的极值等于主应力，即 …………（2’） …………（3’） n σx σy τxy τyx σα τ τα α α 二．二向应力状态分析-解析法 (1) 当σx σy 时，主平面主值α 0上的应力是σmax ，而(α0+π/2)上的应力σmin ； 6．正应力的极值与主平面之间的对应关系： (2) 当σx σy 时，主平面主值α 0上的应力是σmin ，而(α 0+π/2)上的应力σmax (3) 当σx =σy 时， 若 τxy 0，tgα= - ∞，则α 0 = - π/4 ，对应σmax ； 若 τxy 0，tgα=∞，则α 0 =π/4 ，对应σmax ； 二．二向应力状态分析-解析法 ； (1) 位置：令 ，得 由于 则得： 即剪应力极值平面与主平面的夹角为450；两个剪应力极值平面之间的夹角是900； 7．剪应力的极值位置和大小 二．二向应力状态分析-解析法 7．剪应力的极值位置和大小 (2) 大小： 这是剪应力互等定理的表达式； 显然有： 将α1的值代入剪应力计算公式得： (3) 剪应力极值位置与极值大小的对应关系： 从主应力极值σmax的主平面逆时针转450，得到的剪应力极值平面上是τmax n σx σy τxy τyx σα τ τα α α …………（4） …………（5） 三．二向应力状态分析-图解法 ； 1．应力圆方程： 二式二边平方后相加得： 这是关于σ α 和τ α，半径是 的圆方程，圆心坐标是 由斜截面应力计算公式得： 三．二向应力状态分析-图解法 2．应力圆： 图7-7 n σx σx σy σy σα τy