第三单元初等函数.pptVIP

xn + yn = zn xn + yn = zn xn + yn = zn xn + yn = zn xn + yn = zn xn + yn = zn xn + yn = zn xn + yn = zn xn+yn=zn xn+yn=zn xn+yn=zn xn+yn=zn xn+yn=zn xn+yn=zn 第三章初等函数 § 1 函数的概念 函数的几种定义方式 1.函数的传统定义 定义1：设在某个变化过程中有两个变量x和y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值,按照某个对应关系,y都有唯一 确定的值和它对应，那么就把y叫做x的函数, x叫做自变量. 2.函数的近代定义 定义2：给定两个集合A和B,如果按照某一确定的对应法则f,对于集合A内的每一个元素有唯一的一个 元素与它相对应,那么就是确定在集合A上的函数.集合A称为y的定义域,集合A中的任一元素x根据法则f所对应的 ，记作 的函数值，全体函数值的集合 的函数值，全体函数值的集合 称为函数 的值域 3.函数的现代定义 定义3：设 .如果还满足 的关系，即 是集合 与集合 ,则 是集合 到集合 ，那么 的函数. 三、反函数的概念 定义4：如果确定函数y=f(x)的映射f:A→B是f(x)的 定义域A到值域 (B上的一-映射, :B→A所确定的函数x=f (y)叫做函数y=f(x)的 那么这个映射的逆映射f 反函数. §2。基本初等函数 定义5：形如y=c的函数叫做常量函数,这里c是常数. 一，常量函数 二、幂函数 常量函数的定义域是一切实数,值域是{c}. 定义6：形如 的函数叫做幂函数,这里 是给定的实数. 定义9：由基本初等函数经过有限次四则运算及函数复合， 并且只用一个解析式 §3.初等函数及其分类 一、初等函数的概念 表示的函数叫做初等函数. 定义10：由基本初等函数f (x)=x和f (x)=c经过有限次代数运算所得到的初等函数, 叫做初等代数函数或代数显函数.非初等代数函数的初等函数,叫做初等超越函数. 定义11：由基本初等函数f (x)=x和f (x)=c经过有限次四则运算所得到的初等代数函数, 叫做有理函数.非有理函数的初等代数函数,叫做无理函数. 定义12：由基本初等函数f (x)=x和f (x)=c经过有限次加、减、乘的运算所得到的 有理函数,叫做有理整函数.非有理整函数的有理函数,叫做有理分函数. 是关于 三、代数函撤 定义13：凡是能作为代数方程 的解的函数都叫做代数函数,其中 的非零多项式, 即若以 的各个解就是以x为自变量的代数函数. 作未知数,则代数方程 定理1:无理指数的幂函数 ( 是无理数)是超越函数 定理2:指数函数 是超越函数. 定理3：对数函数 是超越函数. 定理4:三角函数是超越函数. 定理5：反三角函数是超越函数. §4用初等方法讨论初等函数 函数的定义域就是使函数有意义的自变量的可取值集合. 一、函数的定义域和值域 1.函数的定义域 确定初等函数定义域的规则是: (1)如果 是整式,则定义域是全体实数集合. (2)如果 是分式,则分式的分母不为零. (4)对于式子 ,则 (3)对于式子 ,则 . (5)对于tan (或ctg ,则 ) (6)对于arcsin . ，则 ,arccos 通过对函数定义域和性质的观察,再结合对函数解析式的分析,可以求得 函数的值域. 2.函数的值域 函数的值域就是函数值组成的集合.这个集合是对于定义域内的自变量, 通过对应关系而得到的函数值的全体.这里介绍一些求函数值域的方法. (1)观察法 (2)反函数法 如果 求函数 的反函数存在,由函数 解得 的定义域,以确定函数 的值域. 由此可以求得函数的值域. (3)判别式法 如果函数式 可化为关于 的二次方程,那么在方程有实数解时,判别式 (4)最值法 如果函数在 上连续,它的最大值和最小值分别是 和 ,那么函数的值域是 把求代换法的基本思想，在于把代数函数的值域问题 化为三角函数的值域问题,在 (5)三角代换法 代换时，必须使三角函数的值域与被代换变量的取值 范围相一致. 二、函数的性质 1.有界性 在定义域(或其子集)内的一切x值,都有 定义14:如果存在正数 对于函数 不存在,那么这个函数是无界的. 这个条件的正数 成立,那么函数 叫做在定义域(或其子集)上的有界函数.如果适 2.奇偶性 定义15:对于函数 在定义域内的任意一个 值,如果都有 那么函数 成立, 叫做奇函数;如果都有 成立,那么函数 叫做偶函数. (4)奇(或偶)函数的倒数(分母不为零)仍为奇(或偶)函数. 定理6: (1)两个奇(或偶)函数的代数和仍是奇(或偶)函数. (2)两个奇(或偶)函数的积是偶函数;