第二单元补充材料命题逻辑部分.pptVIP

等值演算 Equivalent Calculus LIU Duo bat@mail.tsinghua.edu.cn * well-formed formula (wff,合式公式) (1) p, q, r, … 是合式公式； (2) 如果A是合式公式，则?A也是； (3) 如果A和B是合式公式，则由逻辑联结词联结A和B的符号串也是； (A∧B)、(A∨B)、(A?B)等等。 (4) 有限次应用(1)-(3)构成的符号串才是合式公式。 等值演算 设A，B为两个合式公式，A?B即A?B为一个重言式。 命题形式相等的判断 真值表法 等值演算法 当命题变项的数目较多时, 可把合式公式化成标准型(主析取范式和主合取范式). 等值演算 例：判断下述3个公式之间的等值关系： p?(q?r), (p?q)?r, (p∧q)?r . 等值演算 设A，B为两个合式公式，A?B即A?B为一个重言式。 命题形式相等的判断 真值表法 等值演算法 当命题变项的数目较多时, 可把合式公式化成标准型(主析取范式和主合取范式) 等值演算 等值演算: 由已知的等值式推演出新的等值式的过程 等值演算法 等值式模式为基础 Theorem 12 应用等值演算规则 逐步等值演算 将一个命题形式演算成另一个 将两个命题形式演算成同一个 等值演算 等值演算规则 代入规则/替换规则 代入规则 一个重言式，对其中所有相同的命题变项都用一合式公式代换，其结果仍为一重言式。这一规则称为代入规则。 p∨( q∧p ) ? p (s?t)∨(q∧(s?t)) ? (s?t) 等值演算 使用代入规则证明重言式。 例：判断(r∨s)∨?(r∨s)为重言式。 p∨?p为重言式, 作代入 依据代入规则,便得 (r∨s)∨?(r∨s)。 这公式必是重言式。 等值演算 等值演算规则 代入规则/替换规则 置换规则 定理： 设?(A)是含命题公式A的命题公式，?(B)是用命题公式B置换了?(A)中的A之后得到的命题公式（不一定是每一处）。 如果 A ? B，则?(A) ? ?(B) 。 等值演算 例： ((p∨q)∧p)∨(p∧r) ? p∨ (p∧r) ? p 等值演算 例：证明 p?(q?r) ? (p∧q)?r 证明： p?(q?r) ? ?p∨(?q∨r) (蕴涵等值式) ? (?p∨?q)∨r (结合律) ? ?(p∧q)∨r (德·摩根律) ? (p∧q)?r (蕴涵等值式) 等值演算 例：证明(?p∧(?q∧r))∨(q∧r)∨(p∧r) ? r 证： 左 ? (?p∧(?q∧r))∨((q∨p)∧r) (分配律) ? ((?p∧?q)∧r)∨((q∨p)∧r) (结合律) ? (?(p∨q)∧r)∨((q∨p)∧r) (德·摩根律) ? (?(p∨q)∨(q∨p))∧r (分配律) ? T∧r (排中律) ? r 等值演算 例：证明 ((p∨q)∧?(?p∧(?q∨?r)))∨(?p∧?q)∨(?p∧?r) ? T 证： 左 ? ((p∨q)∧(p∨(q∧r)))∨?(p∨q)∨?(p∨r) (德·摩根律) ? ((p∨q)∧((p∨q)∧(p∨r)))∨?(p∨q)∨?(p∨r) (分配律) ? ( (p∨q)∧(p∨r) )∨?(p∨q)∨?(p∨r) (结合律，等幂率) ? ( (p∨q)∧(p∨r) )∨? ( (p∨q)∧(p∨r) ) (德·摩根律) ? T (排中律) 等值演算 例 用等值演算法判断下列公式的类型 (3) ((p∧q)∨(p∧?q))∧r ? (p∨(q∧?q))∧r ? (p∨F)∧r ? p∧r 非重言式的可满足式. 等值演算 等值演算不能直接证明两个公式不等值. 证明两个公式不等值的基本思想是找到一个赋值使一个成真, 另一个成假. 例：证明p?(q?r)和(p?q)?r不等值。 真值表法 先用等值演算化简公式, 再观察 使用主范式 等值演算 化简语句： “情况并非如此：如果他不来，那么我也不去”。 p：他来；q：我去 ?(?p??q) ? ?(??p∨?q) ? ?(p∨?q) ? ?p∧q 我去了，而他没来。 Normal Form范式 LIU Duo bat@mail.tsinghua.edu.cn * Normal Form(范式) 文字与互补对 命题变项P及其否定式?P统称文字(literal)。 且P与?P称为互补对 析取式 由文字的析