第六参数估计.pptVIP

概率论与数理统计 第六章 参数估计 第六章 参数估计 在实际问题中，所研究的总体的分布类型往往是已知的，但依赖于一个或几个未知参数. 第六章 参数估计 6.1 点估计 第六章 参数估计 6.1 点估计 第六章 参数估计 6.1 点估计 第六章 参数估计 6.1 点估计 第六章 参数估计 6.2 区间估计 第六章 参数估计 6.2 区间估计 第六章 参数估计 6.2 区间估计 第六章 参数估计 6.2 区间估计 参数估计历届考题 u O φ(u) α/2 将上式括号内的不等式 转化为等价形式 故得μ的置信度为1?α的置信区间为 例1 设在正常条件下，某机床加工的小孔的孔径X(单位：厘米)服从N(μ,σ2)分布.长期积累资料表明σ= 0.048.今从加工的小孔中，测得10个孔径的平均值为1.416.试求μ的置信区间(置信度为0.95). 解 由已知 从标准正态分布表N(0,1)查出 故置信限为 μ的置信度为0.95的置信区间为 2.σ2未知，求μ的置信度为1?α的置信区间 由式 对给定的α，查t分布表(附表4)得到临界值tα/2(n?1) (如图)使 t O f(t) α/2 将上式括号内的不等式 转化为等价形式 故得μ的置信度为1?α的置信区间为 例2 设有一批胡椒粉，每袋净重X(单位：克)服从N(μ,σ2)分布.今任取8袋测得净重是12.1，11.9，12.4，12.3，11.9，12.1，12.4，12.1.试求μ的置信区间(α=0.01). 解 经计算 又n=8，α=0.01， 故置信限为 μ的置信区间为 3. μ未知，求σ2的置信度为1?α的置信区间 由式 对给定的α，查?2分布表(附表3)得到临界值 ?21-α/2(n?1)与?2α/2(n?1) (如图)使 x O f(x) α/2 α/2 将上式括号内的不等式 转化为等价形式 则得μ未知时σ2的置信度为1?α的置信区间为 μ未知时σ的置信度为1?α的置信区间为 例3 (例2)设有一批胡椒粉，每袋净重X(单位：克)服从N(μ,σ2)分布.今任取8袋测得净重是12.1，11.9，12.4，12.3，11.9，12.1，12.4，12.1.试求σ2的置信区间(α=0.01). 解 经计算 又n=8，α=0.01， 故置信限为 σ2的置信区间为 如在本节的开头所述，区间估计有两个要素：一是其精度，二是其可靠度，分别用置信区间与置信度表示. 在进行区间估计时，人们自然希望置信区间短一些，置信度大一些. 但是在样本容量一定的情况下，二者是不可兼得的. 不难看出，样本容量一定，置信度越大，置信区间越长，估计的意义也就越小. 所以，在置信区间的定义中，限制置信度小于1，而决不能要求达到1. 实际上，因为抽样具有随机性，人们不能以百分之百的可靠度对未知参数作出任何有意义的估计. 例如在1、2中，如果硬性要求绝对可靠，那么只能用区间(?∞,+∞)来估计μ，这显然是毫无意义的. 但只要给定了置信度1?α(0α1)，不管它多么接近1，人们总可以对未知参数作出估计，而且可以用增大样本容量的办法来缩短置信区间的长度.这正是统计方法可以发挥作用之处. 当然，在实际问题中，样本容量太大是很难办到的，所以人们要确定合适的α与n. 对给定置信度1?α和同一未知参数θ，即使使用同一个随机变量T(x1,x2,…,xn;θ)，也可以构造出许多不同的置信区间. 例如在3中，如果从?2分布表(附表3)查出临界值 满足 那么，只要 成立 就是σ2的置信度为1?α的置信区间. 一般说来，在进行区间估计时，总是先规定一个置信度，以保证其可靠度达到一定的要求. 在这个前提下，精度越高越好. 对确定的样本容量，在一定置信度下，置信区间长度的均值 越小越好. 对这个问题的讨论，已超出了本书的范围. 在3中选择α1=α2=α/2，主要是为了查表方便，而不是基于如上的考虑.因为在这种情况下，求长度最短的置信区间是较复杂的事情，不便于实际计算. 6.2.2 两个正态总体参数的区间估计 设总体X~N(μ1,σ12)，Y~N(μ2,σ22). 为取自正态总体X的容量为n1的一个样本， 分别表示它的样本均值和样本方差； 既然对同一未知参数可以找到种种不同的估计量(实际上，从估计量的定义可知，原则上任何统计量都可以作为未知参数的估计量)，那么它们中哪一个是较好的估计呢？ 好的标准又是什么？ 下面介绍最常用的三条标准. 1.无偏性 设 是θ的估计量，若对任何可能的参数值θ都有 则称 是未知参数θ的无偏估计量. 无偏性表示 围绕被估计参数θ而摆动，以致平均误差为零，即用 估计θ没有系统性误差. 这里和以后将用 分别表示随机变量T的概率分布中的参数值为θ时，随机变量T的数学期望和方差. 例