第四单元解析函数的幂级数表示(二).pptVIP

第四章 解析函数的幂级数表示 结束 返回 第四章 解析函数的级数表示 第*页 结束 返回 浙江科技学院 Zhejiang University of Science and Technology * §4.3 泰勒级数 我们知道一个幂级数的和函数在它的收敛圆内是解析函数，现在我们考虑与此相反的问题：一个解析函数是否能用幂级数来表示？ 1、泰勒展开定理 对实函数而言，一个关键性条件是：应在展开点处具有任意阶导数. 对于复变函数来说，由于解析函数具有任意阶的导数，所以这一条件是满足的. * 定理1（Taylor定理） 即 注(1) 若f (z)有奇点，那么f (z)在解析点 的Taylor展开式的收敛半径R等于点 到f (z)的最近的一个奇点 之间的距离，即 * (1)直接法----利用公式; (2)间接法----由已知函数的展开式，运用级数的代数 运算、代换、逐项求导或逐项积分等方法来展开. 函数展开成Taylor级数的方法： 例如 * 2、 几个初等函数的泰勒展开式 例1 解: * * 例2 把下列函数展开成 z 的幂级数: 解: -1 O R=1 x y * 　(2)因ln(1+z)在从z=-1向左沿负实轴剪开的平面内 解析， ln(1+z)离原点最近的一个奇点是-1, 所以它的展开式的收敛范围为?z?1. 注：以上几个展式显然与相应的实函数展式一致. （逐项积分、求导，收敛半径不变） * 一些常用展开式 * 　　　 例3 将函数 展开为z-i的级数。 解: f(z)只有一个奇点,其收敛半径为 结束 返回 第四章 解析函数的级数表示 第*页