第四单元线性代数方程组的迭代解法.pptVIP

jkhh Confidential, for review only 例4.5 已知线性方程组 考察用Jacobi迭代和G-S迭代求解时的收敛性 解: ⑴ 雅可比迭代矩阵 故Jacobi迭代收敛 ⑵ 将系数矩阵分解 则高斯-塞德尔迭代矩阵 故高斯—塞德尔迭代收敛。 定理4.4 设n阶方阵 为对角占优阵, 则 非奇异 证: 因A为对角占优阵, 其主对角元素的绝对值大 于同行其它元素绝对值之和, 且主对角元素 全不为0, 故对角阵 为非奇异。 作矩阵 利用对角占优知 由定理4.1知 非奇异,从而A非奇异,证毕 系数矩阵为对角占优阵的线性方程组称作对角 占优方程组。 定理4.5 对角占优线性方程组 的雅可比 迭代公式和高斯-赛德尔迭代公式均收敛。 证: 雅可比迭代公式的迭代矩阵为 由定理4.4知, 这时 , 再由 定理4.3知迭代收敛 再考察高斯-赛德尔迭代公式的迭代矩阵 令 ，则有 即 写出分量形式有 设 而 由上式得 由此整理得 利用对角占优条件知上式右端小于1,(如果右端大于1, 则得出与对角占优条件矛盾的结果)故有 据定理4.3知G-S收敛 例4.6 设求解线性方程组 的雅可比迭代 求证当 1时,相应的高斯-塞德尔迭代收敛 证:由于B是雅可比迭代的迭代矩阵,故有 又 1,故有 则 ∴系数矩阵 为对角占优阵,故G-S迭代收敛 例4.7 设 ,证明, 求解方程组 的Jacobi迭代与G-S迭代同时收敛或发散 证:雅可比迭代矩阵 其谱半径 例4.7 设 ,证明, 求解方程组 的Jacobi迭代与G-S迭代同时收敛或发散 证: G-S迭代矩阵 其谱半径 显然, 和 同时小于、等于或大于1,因而Jacobi迭代法与G-S迭代法具有相同的收敛性 例4.8 设求解线性方程组的雅可比迭代 x(k+1)=B x(k)+f k=0,1,… 求证当‖B‖ 1时, 相应的G-S迭代收敛 证 这里以‖B‖? 为例, ‖B‖1类似 由于B是雅可比迭代的迭代矩阵，故有 ∴ Ax=b 的系数矩阵按行严格对角占优, 故高斯-塞德尔迭代收敛 例 4.9 考察用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代 法解线性方程组Ax=b的收敛性，其中 解： 先计算迭代矩阵 求特征值 雅可比矩阵 ? ( B ) = 0 1 ∴用雅可比迭代法求解时，迭代过程收敛 ?1=0,?2 =2,?3 =2 ?(G1)=21 ∴用高斯-塞德尔迭代法求解时，迭代过程发散 高斯-塞德尔迭代矩阵 求特征值 ∴ Ax=b的系数矩阵按行严格对角占优,故高斯-塞德尔迭代收敛 例4.10 设有迭代格式 X(k+1)=B X(k) +g (k=0,1,2……） 其中B=I-A, 如果A和B的特征值全为正数， 试证：该迭代格式收敛。 分析:根据A， B和单位矩阵I之间的特征值的关系导出?(?)1, 从而说明迭代格式收敛。 证: 因为B=I-A, 故?(B)= ?(I)- ?(A)=1 - ?(A) ?(A) + ?(B) = 1 由于已知?(A) 和 ?(B)全为正数，故 0?(B)1 ,从而? (B) 1 所以该迭代格式收敛。 当时?a?1时,Jacobi矩阵??GJ??∞1,对初值x(0)均收敛 例4.11 设 方程组 写出解方程组的Jacobi迭代公式和迭代矩阵 并讨论迭代收敛的条件。 写出解方程组的Gauss-Seidel迭代矩阵,并讨 论迭代收敛的条件。 解 ① Jacobi迭代公式和Jacobi矩阵分别为 例4.11设 方程组 写出解方程组的Gauss-Seidel迭代矩阵，并讨论 迭代收敛的条件。 解 ② Gauss-Seidel矩阵为 当时?a?1时, Gauss-Seidel矩阵 ??Gs??∞1, 所以对任意初值x(0)均收敛。 也可用矩阵的谱半径p(GS)1来讨论 解： 先计算迭