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背景：解多粒子相互作用体系的困难 由于粒子间相互作用势V(x1,…,xN)的存在，Ψ不能分离变量（平均场近似？）； 由于全同性， Ψ需要具有相应的交换粒子坐标（空间与内禀坐标）的对称性(对称性要求影响所寻求的解，如He例子中看到的) 解决办法？ 7.5 多粒子态求解：二次量子化 一、多体量子体系的理论处理 多体波函数 包含了所有信息，但直接求解薛定谔方程很困难。常需依赖于： 1. 二次量子化：用二次量子化算符体现全同粒子的统计性比用单粒子波函数的对称化或反对称化乘积描述全同粒子的统计方便，也是相对论性量子理论描述粒子产生与湮灭所必需。此外，常可作合理的物理近似将二次量子化哈密顿算符简化为二次形式而有严格解。 2. 量子场论：避免直接处理多粒子波函数和坐标而只关注感兴趣的几个矩阵元。 3. 格林函数：包含基态能量及其热力学函数、激发态能量、寿命和对外扰的线性响应等物理信息，可用Feynman-Dyson微扰理论和Feynman图、Feynman规则求得。 二、一次量子化的薛定谔方程 常有 这里xk是第k粒子的（空间和分立变量如自旋）坐标， T是动能(单粒子)算符，V是粒子间的相互作用势能。 用单粒子定态波函数的完备集合或完备基(依问题而定、不含时间)展开多粒子波函数(理论上是严格的)： Ek：单粒子量子数集合（如nlmms) 将展开式代入薛定谔方程，方程两边乘 ，对所有坐标积分，得含时多粒子波函数的耦合微分方程组： （T是单粒子算符，只能改变一个粒子能态；V含两粒子坐标，可改变两个粒子能态） 三、全同粒子 充分+必要条件： 充分性可通过代入 得到证明。 必要性则可通过上式投影出特定系数及波函数的交换对称性证明。 四、玻色子 由于C的对称性，可将量子数重组 并统一表示为： 由波函数的归一和正交性知 （ ） 定义 则： 完全对称的波函数用完全对称和正交的完备基展开 （且对量子数集的求和转化为对占据态数的求和） 应用于动能项有：|i: 单粒子量子态(因 ，ni大部分为0) 应用于势能项 薛定谔方程变为： etc表示i,j,k,l相等和不等关系的其他13种可能 可简化为： 形式非常复杂;利用二次量子化可变得很简洁 五、二次量子化方法 多粒子希尔伯特空间（福克空间） 1. 抽象不含时态矢(粒子数表象) 正交性 完备性 2. 不含时产生与湮没算符（玻色子） 3. 多粒子态矢： 薛定谔方程 最后可得简洁的二次量子化中的薛定谔方程： H是抽象占据数Hilbert空间（福克空间）的（二次量子化）哈密顿算符。粒子的统计性和算符性质包含于产生和湮灭算符中。i|T|j和ij|V|kl是c数。 f 给出了一次与二次量子化态矢之间的联系（物理问题本身并没有因为表述而变） 六、费米子 反对称波函数（一次量子化） 二次量子化态矢 费米子的产生与湮没算符： 薛定谔方程 将E顺序排列产生额外相因子： 相应有： 最后得二次量子化的薛定谔方程： 注意au、at的顺序 一次量子化波函数展开系数的反对称性所引起的相位体现于H和反对称直积态基矢中 七、应用例子：简并电子气（均匀正电背景中运动的电子气） 感兴趣的物理效应均体现于Hel 二次量子化形式（平面波为基） ? (周期性边界条件 ) 由于： 第一项与上面H的第一项相消 考虑先L－∞后μ－0 (L1/μ)的极限，得： 基态能量的一阶近似解 零阶近似： 得基态能量的一阶近似解： 一阶微扰： 该结果对碱金属是可不错的近似 小结 作业 1）若N个全同粒子体系的哈密顿算符为： , 写出对应的二次量子化形式并指出产生湮灭算符的基本对易或反对易关系。 2)N个自旋为1/2的无相互作用的全同粒子受外势 作用，求以平面波为基时的哈密顿算符的二次量子化形式，指出