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1960年，彼得森（Peterson）首先从理论上解决了二进制BCH码的时域译码问题，稍后就有人把它推广到多进制BCH码。 1966年，伯利坎普（Berlekamp）提出了迭代译码算法，该算法后来被公认是经典的BCH实用译码算法。以下介绍伯利坎普迭代译码算法的思路和实施，而不重在数学证明上。 BCH迭代译码也分为三步： 1.由接收多项式R(x)计算伴随式S(x)； 2.由伴随式S(x)得到差错图样E(x)； 3.求码字估值C(x)= R(x)- E(x)。 对于非系统码，还要增加一步： 4.信息m(x)= C(x)/g(x)。 1.从码多项式R(x)计算伴随式S(x) 方法①：根据式(4-44)，S(x) = R(x) mod g(x)。 利用一个g(x)除法电路、在k次移存周期中完成伴随式计算。这种方法将BCH码视同一般循环码来处理，没有利用BCH码本身特点。 方法②：BCH码的生成多项式含有2t个连续幂次的根，又由根与校验矩阵的关系(式4-25)，BCH码的校验矩阵可写成： 1 ? ?2 … ?n-1 H = 1 ?2 (?2)2… (?2) n-1 (2t×n)矩阵 (4-58) ┇ 1 ?2t (?2t)2… (?2t) n-1 伴随式S=(s1,s2…si…s2t )=(r0,r1,…, rn-1 )?HT (4-59) 其中， (4-60) 或写成 (4-61) 式(4-60)可利用4.3.2节中介绍过的计算域元素多项式值R(?i)的电路 (图4-13)直接计算R(?i)即Si。这种方法用2t个电路分别并行计算伴随式Si，在n次移存周期中完成。 方法③：若与?i对应的最小多项式是?i(x) , 接收码多项式R(x)除以?i(x)的余式为pi(x)，则有 R(x) = qi(x)?i(x) + pi(x) 以 x = ?i代入， ∵?i是?i(x)的根，∴?i(?i)= 0。由关系式(4-61)得 R(?i) = qi(?i)?i(?i) + pi(?i) = pi(?i) = Si (4-62) 可见，Si等于R(x)除以?i所对应的最小多项式?i(x)后的余式。由于最小多项式?i(x)的次数低于生成多项式g(x), 一般可减小计算量。 例4.19 (15,5,7)二元BCH码的t=3，根所在域由本原多项式P(x)=x4+x+1生成。若收码R(x)已知，计算其伴随式Si。 解：据例2.9表2.2，?,?2,?4,?8是共轭元，对应同一最小多项式?1(x)= x4+x+1。?3,?6,?9,?12也是共轭元，对应同一最小多项式?2(x)= x4+ x3+ x2+ x +1，而共轭元?5、?10对应的最小多项式是?3(x)= x2+ x+1。对于t=3的BCH码，应有2t=6个连续幂次的根，它们各自对应的最小多项式如表4-14。 令R(x) [模?1(x)] = a3x3+ a2x2+ a1x+ a0 R(x) [模?2(x)] = b3 x3+ b2 x2+ b1 x+ b0 R(x) [模?3(x)] = c1 x+ c0 由式(4-62)，伴随式 S1= p1(?) = a3?3+ a2?2+ a1?+ a0 S2= p2(?2) = a3(?2) 3+ a2(?2) 2+ a1?2+ a0 =a3?6+a2?4+a1?2+a0=a3(?3+?2)+a2(?+1)+a1?2+ a0 = a3?3+(a1+a3)?2+ a2?+(a0+a2) 同理S3= p2(?3) = b3 (?3)3+ b2 (?3)2+ b1(?3)+ b0 = (b3+b2+b1)?3+ b2 ?2+ b3?+ b0 表4-14连续幂次根的最小多项式和伴随式 ? 根 伴随式Si = pi(?i) ? ?2 ?3 ?4 ?5 ?6 ?1(x)= x4+ x+1 ?1(x)= x4+ x+1 ?2(x)= x4+x3+x2+x+1 ?1(x)= x4+ x+1 ?3(x)= x2+ x+1 ?2(x)=x4+x3+x2+x+1 S1= a3?3+ a2?2+ a1?+ a0 S2= a3?3+(a1+a3)?2+ a2?+(a