第十八隐函数定理及其应用.pptVIP

第十八章 隐函数定理及其应用 一、第十八章主要思想内容： 1．研究一个给定的方程 在指定的区域（范围）内是否可以确定（表示）一个函数（隐函数）。 通俗地说，在指定的区域（范围）内， 方程 是否有唯一解 2．若方程 有指定的区域（范围）内确定一个隐函数 则其分析性质如何（是否连续、可微）？ 如何求其隐函数的导数？ 三、隐函数存在定理 定理18.1 若满足下列条件: 函数 在以 为内点的某一区域 上连续; (满足初始条件); 在 内存在连续的偏导数 则在 的某邻域 内,方程 惟一地确定了一个 定义在某区间 内的函数(隐函数) 使得 时 且 在 内连续. 隐函数存在性定理的四个条件: 函数 在以 为内点的某一区域 上连续; (满足初始条件); 在 内存在连续的偏导数 注： (1) 定理的条件是充分的，但不必要. 例 方程 在(0,0)的邻域内不满足4），但仍能确定出隐函数 (2) 条件3)和4)可减弱为“ 在 的邻域内关于 严格单调”. (3) 若将3)和4)改为 3) 在D内有连续的偏导数 4) 则方程 可确定唯一的连续函数 例1 已知方程 由于 及其偏导数 在平面上任一点都连续，且 由隐函数存在定理唯一性性定理，方程 确定了一个定义在 上的连续函数 例2 讨论方程 能否在原点某邻域内确定隐函数 解: 设 由于 及其偏导数 都在原点的邻域连续， 且 由隐函数存在唯一性定理， 方程 确定了一个定义在原点某邻域 隐函数 例3 讨论方程 能否在原点某邻域内确定隐函数 解: 设 由于 及其偏导数 都在原点的邻域连续， 且 但 故无法根据存在唯一性定理得到结论性的结果 . 四、隐函数可微性定理 定理2 若 满足定理1的四个条件, 又在D上存在连续的偏导数 则由方程 确定的隐函数 在 内有连续的导数,且 (可直接对方程 两边求全微,得 进而可求其导数.） 证明思路: 设方程(1)确定的隐函数为 与 都属于 对应的函数值 与 都属于 (可直接对方程 两边求全微,得 进而可求得上述公式） 证明思路: 设方程(1)确定的隐函数为 与 都属于 对应的函数值 与 都属于 则 其中 (由二元函数中值定理) 注意到 的连续性, 令 取极限即可得结论. 解 令 则 例4 设方程 由于 及其偏导数 在平面上任一点都连续，且 由隐函数存在定理与隐函数可微性定理， 方程确定了一个定义在 上的连续可导函数 且 例5 讨论方程 能否在原点某邻域内确定隐函数 解: 设 由于 及其偏导数 都在原点的邻域连续， 且 由隐函数存在唯一性定理， 方程 确定了一个定义在原点某邻域 连续且可微的隐函数 且 解 令 则 均连续。 函数的一阶和二阶导数为 例6 讨论笛卡儿叶形线 所确定的隐函数 的一阶与二阶导数。 例6 讨论笛卡儿叶形线 所确定的隐函数 的一阶与二阶导数。 解： 曲线在 处的点，方程能确定隐函数 曲线 上 的点为 两边对x求导，得 由此解得 （1） (1)式两边对x求导，得 （2） 由此解得 将（2）代入，化简后得 注意到 得 定理18.3 若(i)函数 在以点 为内点的区域 上连续; (ii) (iii) 在 内存在且连续; (iv) 则在点 的某邻域 内,方程 了一个定义在 的某邻域 内的 唯一确定 元连续 函数(隐函数) 使得 当 时, 且 在 内有连续偏导数: 而且 例7 讨论方程 （13） 在原点的附近所确定的函数及其偏导数. 解: 由于 且各偏导函数 处处连续,又 由隐函数定理18.3, 在原点附近能唯一确定连续可微的隐函数 且 五、反函数的存在性与其导数 隐函数存在唯一性定理: 函数 在以 为内点的某一区域 上连续; (满足初始条件); 在 内存在连续的偏导数 则在 的某邻域 内,方程 惟一地确定了一个 定义在某区间 内的函数(隐函数) 例4 设函数 在 的某邻域内有连续的导数 且 问题： （1）函数 在 的某邻域内存在反函数的条件是什么? （2）反函数的导数？ 解： 令 则 隐函数存在定理的条件 1），2），3）. 例4 设函数 在 的某邻域内有连续的导数 且 问题： （1）函数 在 的某邻域内反函数的条件是什么? （2）反函数的导数？ 解： 令 则 隐函数存在定理的条件 1），2），3）. 若 则方程 在 的某邻域内确定隐函数 就是函数 的反函数. 而 即为 且