“几何与代数”科学出版社习题解析第六章.ppt

旋转变换与平移变换和到一起仍为正交变换，因为他们都保持空间上任意两点间的距离不变，因此正交变换也常称为保距变换。 * 几何与代数习题解析第六章 主讲: 关秀翠 东南大学数学系 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 第六章 二次型与二次曲面 §6.3 二次曲面 x = Qy, 作直角系的旋转变换 坐标轴的平移 g(y) = yT?y + B’Ty + c = 0 y = z+? ?1z12 +?2z22 +?3z32 = bzi + d Q正交 Q正交且|Q|=1 右手系→右手系 一般二次型f(x1, x2, x3) = xTAx + BTx + c = 0 实对称阵的正交相似对角化问题 ? ?Q正交, s.t., Q?1AQ=QTAQ=? =diag(?1,…,?n) ?实二次型 正交变换 标准形 ?二次曲面 直角坐标变换 曲面的标准形 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 条件 方 程 p,q d 二次曲面 p=3,q=0 r(g)=3, b=0 椭球面 球面 p=2, q=1 d0 p=0,q=3 d0 单叶双曲面 d0 d0 双叶双曲面 d=0 二次锥面 r(g)=2, b?0 d=0 p=2, q=0 椭圆抛物面 p=1, q=1 双曲抛物面 r(g)=2, b=0 d?0 p=2, q=0 椭圆柱面 p=1, q=1 双曲柱面 r(g)=1 d=0 p=1, q=0 p=0, q=1 抛物柱面 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 证明: 3. 设A为n阶方阵，证明二次型 f(x)=xTAx的矩阵为 所以 f(x)=xTAx 的矩阵为 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 解: 因为 Ax = ? 与ATAx = ? 同解， 9. 设m?n矩阵A的秩为r，求二次型 f(x) = xTATAx 的规范形. 所以 r(A) = r(ATA) = r. f(x) = xTATAx = (Ax)T Ax 所以?x, f(x) = (Ax)T Ax ? 0. 所以ATA的正惯性指数为 r. 从而f(x) 的规范形为 g(y) Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 证1: 设 所以A不是正定阵. 证2: 令 显然A,B相合,并且相合的矩阵有相同的正定性. ,则 ,则 所以B不是正定阵. 所以A不是正定阵. 12. 设A= (aij)为n阶实对称矩阵，若对角线上有一个aii ? 0, 则A必不是正定矩阵. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 证明: 设???为B对应于?的特征向量, 则 14. 设A为n阶实对称矩阵，B为n阶实矩阵,且A与A? BTAB均为正定矩阵,?是B的一个实特征值, 则 |?|1 . Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 15. 设A, B都是实对称矩阵, M = A O O B , 证明: M正定? A, B都正定. 证明: (?) ① M正定 ??x, y ? ?, xTAx = (xT, ?T)M