01第一章绪论与矢量(定稿6学时)概论.ppt

根据该定理，可以得到如下结论： 　　１、如果产生矢量场的源（通量源或旋涡源）分布于有限空间，则在无限远处的矢量场必为零，因此该矢量场在整个空间的分布仅由其散度和旋度便可唯一地被确定。 实际上，在这种情况下的边界条件是已知的，即无穷远处的场等于零。 ２、标量场u的保守性： 　　该式可以利用斯托克斯定理及　　　　　得到证明，因为上式左边可化为 　 　。静电场中的标量电位是其例子。 　　意义：　　沿闭合曲线的线积分恒等于零，或表述为：沿非闭合曲线从　点移动到　点的线积分　　　　不依赖于具体的路径形状，而等于u(P2)与u(P1)之差。 　　 所以，我们常把标量场称为“位场“。 ３、无旋场 　　（例如静电场　　） 　　４、无散场　　　　　　（例如恒定磁场　　） 此时，　在任意闭合曲面上的面积分均为零：　　　　，且它对应着一个矢量位函数 。 　　此时，　　沿任意闭合路径的线积分都为零： 　　，且它对应着一个标量场u，即 　　对上式两边分别取散度和旋度，得： 　　５．任意一个矢量场　　可表示成一个无旋场（ 　 ）和一个无散场 　（　　　　　）之和，即 　　所以， 和　表示矢量场的两种源：通量源 (例如电荷)和旋涡源　（例如电流）。由于矢量场　　的分布由源的分布决定（因果关系），因此当矢量的散度和旋度已知时，即该矢量场的两种源已知，那么该矢量场本身就唯一地被确定了。 　　上述两式是“矢量场的基本方程的微分形式”，它们适用于矢量场　　连续分布的区域；在矢量场　　不连续的地方，例如某些表面，则必须使用“基本方程的积分形式”，即从矢量　　穿过闭合曲面S的通量　　　　和矢量　　沿闭合曲线C的环流　　　　两方面去研究在这些不连续分布处的矢量场，写成数学等式就是： 例1：已知三个矢量函数 　　 如下： 　　问：（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示；哪些矢量可以由一个矢量的旋度表示； 　　（2）求出这些矢量的源分布。 　　解：（1）根据矢量恒等式及亥姆霍兹定理可知，若该矢量的旋度恒等于零，则该矢量可表示成一个标量函数的梯度；若该矢量的散度恒等于零，则它可以表示成另一个矢量的旋度。由于 是无旋场，它可以表示成一个标量函数的梯度； 是无散场，它可以表示成一个矢量函数的旋度。 是无旋场，它可以表示成一个标量函数的梯度； 矢量 　 还可以表示成另一个矢量函数的旋度，其通量源 和旋涡源均为零； 即：矢量 的通量源为 　　 ，旋涡源为零。 （2）根据上面的结果，可知三个矢量场的源分布分别为： 　　例２：利用散度定理及斯托克斯定理，在更普遍的意义 下证明矢量恒等式： 及 证明：将 在任意表面Ｓ上进行面积分，得： 即：矢量 　的旋涡源为 　　 ，通量源为零。 即： 由于Ｓ是任取的，故 将 在一个任取的区域 内进行体积分， 得： 　　式中，Ｃ是围成曲面Ｓ的闭合路径。由方向导数与梯度的关系，有： 　　式中，Ｓ是围成区域的闭合曲面，它可分成如图所示两个曲面 　 其周界相同，但旋转方向相反（右手螺旋关系）。 由于 是任取的，故 例3：判断矢量场的性质 =0 =0 =0 ?0 ?0 =0 例4：三种特殊形式的场 1.平行平面场：如果在经过某一轴线(设为 Z 轴)的一族平行平面上，场 F 的分布都相同，即 F=f(x,y)，则称这个场为平行平面场。 2.轴对称场：如果在经过某一轴线(设为 Z 轴)的一族子午面上，场 F 的分布都相同，即 F=f(r,?)，则称这个场为轴对称场。 3,球面对称场：如果在一族同心球面上(设球心在原点)，场 F 的分布都相同，即 F=f(r)，则称这个场为球面对称场。 自测题： 证明下列函数满足 （１） （２） （３） 1.4　矢量场的通量与散度 　　前面已讲过，矢量场的形象表示是力线（通量线）, 力线的疏密程度可以形象地表示矢量的大小。因此，垂直于矢量的单位表面所穿过的力线数（通量线数）就是该点矢量大小的量度。所以，“通量”是描述矢量场特性的一个很重要的概念。 　　　先介绍“面元矢量”。如图，一个面元除了它的大小外，它在空间还有一定的取向。取一个与面元相垂直的单位矢 ，则面元矢量可表示为： 　　其二， 是闭合曲面上的一个面元，则闭合面的外法线方向就是 的指向。 　　　　的取法有两种情形： 　　其一， 是开表面上的一个面元， 这个开表面由一个闭合曲线Ｃ所围成。 当选择了这个闭合曲线的绕行方向后， 由右手螺旋法则就可确定出 的方向； 　　在矢量场 中，取一个