从头到尾彻底理解傅里叶变换算法-下.docx

经典算法研究系列：十、从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、下作者：July、dznlong 二零一一年二月二十二日推荐阅读：The Scientist and Engineers Guide to Digital Signal Processing，By Steven W. Smith, Ph.D。此书地址：/pdfbook.htm。------------从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、上前言第一部分、 DFT第一章、傅立叶变换的由来第二章、实数形式离散傅立叶变换（Real DFT）从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、下第三章、复数第四章、复数形式离散傅立叶变换前期回顾，在上一篇：十、从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、上里，我们讲了傅立叶变换的由来、和实数形式离散傅立叶变换（Real DFT）俩个问题，本文接上文，着重讲下复数、和复数形式离散傅立叶变换等俩个问题。第三章、复数复数扩展了我们一般所能理解的数的概念，复数包含了实数和虚数两部分，利用复数的形式可以把由两个变量表示的表达式变成由一个变量(复变量)来表达，使得处理起来更加自然和方便。我们知道傅立叶变换的结果是由两部分组成的，使用复数形式可以缩短变换表达式，使得我们可以单独处理一个变量（这个在后面的描述中我们就可以更加确切地知道），而且快速傅立叶变换正是基于复数形式的，所以几乎所有描述的傅立叶变换形式都是复数的形式。但是复数的概念超过了我们日常生活中所能理解的概念，要理解复数是较难的，所以我们在理解复数傅立叶变换之前，先来专门复习一下有关复数的知识，这对后面的理解非常重要。一、 复数的提出在此，先让我们看一个物理实验：把一个球从某点向上抛出，然后根据初速度和时间来计算球所在高度，这个方法可以根据下面的式子计算得出：其中h表示高度，g表示重力加速度(9.8m/s2)，v表示初速度，t表示时间。现在反过来，假如知道了高度，要求计算到这个高度所需要的时间，这时我们又可以通过下式来计算：（多谢JERRY_PRI提出：1、根据公式h=-(gt2/2)+Vt（gt后面的2表示t的平方），我们可以讨论最终情况，也就是说小球运动到最高点时，v=gt，所以，可以得到t=sqt(2h/g)且在您给的公式中，根号下为1-(2h)/g，化成分数形式为(g-2h)/g，g和h不能直接做加减运算。2、g是重力加速度，单位是m/s2，h的单位是m，他们两个相减的话在物理上没有意义，而且使用您给的那个公式反向回去的话推出的是h=-(gt2/2)+gt啊（gt后面的2表示t的平方）。3、直接推到可以得出t=v/g±sqt((v2-2hg)/g2)（v和g后面的2都表示平方），那么也就是说当v22hg时会产生复数，但是如果从实际的v2是不可能小于2hg的，所以我感觉复数不能从实际出发去推到，只能从抽象的角度说明一下。） 经过计算我们可以知道，当高度是3米时，有两个时间点到达该高度：球向上运动时的时间是0.38秒，球向下运动时的时间是1.62秒。但是如果高度等于10时，结果又是什么呢？根据上面的式子可以发现存在对负数进行开平方运算，我们知道这肯定是不现实的。第一次使用这个不一般的式子的人是意大利数学家Girolamo Cardano（1501-1576），两个世纪后，德国伟大数学家Carl Friedrich Gause（1777-1855）提出了复数的概念，为后来的应用铺平了道路，他对复数进行这样表示：复数由实数（real）和虚数(imaginary)两部分组成，虚数中的根号负1用i来表示（在这里我们用j来表示，因为i在电力学中表示电流的意思）。我们可以把横坐标表示成实数，纵坐标表示成虚数，则坐标中的每个点的向量就可以用复数来表示，如下图：上图中的ABC三个向量可以表示成如下的式子：A = 2 + 6jB = -4 – 1.5jC = 3 – 7j这样子来表达方便之处在于运用一个符号就能把两个原来难以联系起来的数组合起来了，不方便的是我们要分辨哪个是实数和哪个是虚数，我们一般是用Re( )和Im( )来表示实数和虚数两部分，如：Re A = 2 Im A = 6Re B = -4 Im B = -1.5Re C = 3 Im C = -7 复数之间也可以进行加减乘除运算：这里有个特殊的地方是j2等于-1，上面第四个式子的计算方法是把分子和分母同时乘以c – dj，这样就可消去分母中的j了。复数也符合代数运算中的交换律、结合律、分配律：A B = B A(A + B) + C = A + (B + C)A(B + C) = AB + AC二、 复数的极坐标表示形式前面提到的是运用直角坐标来表示复数，其实更为普遍应用的是极坐标的表示方法，如下图：上图中的M即是数量积(magnitude)，表示从原点到坐标点的距离，θ是