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儿童解答加减应用题中的加减法互补知识作用　 周新林 北京师范大学心理学院脑与认知研究所 北京师范大学“认知科学与学习”教育部重点实验室 摘要 在过去关于儿童解答加减应用题的研究中，人们认为部总知识在很大程度上影响儿童解答过程。本研究将探讨部总知识的构成之一——加减法互补关系知识——的作用是否存在。要求1年级学生以提供数值或算式答案的方式解答变化题，并解释答案的来历。例如问题“开始明明有一些玩具，华华给了明明2件玩具，现在明明有5件玩具。明明开始有多少件玩具？”3为它的数值答案，5-2为它的算式答案。结果发现提供算式答案比提供数值答案困难，并且在提供算式答案时，出现了直接映射错误，例如对于上面的问题，这种解答的表现形式就是3+2。这两种现象都与学生采用直接映射方法或准方程方法解答问题和不能应用加减法互补知识有关；通过分析口语报告，发现学生提供的正确算式也并不是运用加减法互补知识的结果。所以，总体上，加减法互补知识在儿童解答加减应用题中没有发挥作用。 关键词 加减应用题 数学认知 数学知识 1 前言 加减应用题，也叫加减文字题，即用加减法解答的数学应用题，是小学低年级学生数学学习中的重要内容，解决这种类型的问题，既是获得数学概念的工具，也是发展解答数学问题能力的重要途径。在过去关于儿童解答加减应用题的研究中，人们认为部总知识在很大程度上影响儿童解答加减应用题（例如，Nesher, 1982; Sophian, Vong, 1995；Wilkins, Baroody Tiilikainen, 2000）。本研究将探讨部总知识的构成之一——加减法互补关系知识——的作用是否存在。 1.1部总知识及其作用 在加减应用题解答研究中，人们认为部总知识是关于数量的部分和总体之间关系的知识，虽然对部总知识的具体形式的认识稍有不同，但是概括起来，部总知识的具体形式有三个方面：①部分和总体之间的运算关系知识，也可称为加法等式知识“部分＋部分＝总体”和减法等式知识“总体－部分＝部分”、 ②加法交换律知识，③加法和减法互补关系知识(例如，Baroody Gannon, 1984; Briars Larkin, 1984; Nesher, 1982; Sophian, Vong, 1995；Sophian, McCorgray, 1994; Wilkins, Baroody Tiilikainen, 2000)。部总知识在本质上属于一种逻辑数理知识。在皮亚杰认知发展主义中，儿童解答这样的类包含问题(Class inclusion problem)“是雏菊多还是花多”，就需要运用部总知识(Inhelder Piaget，1964)。 关于儿童解答加减应用题的过程，研究者提出了部总知识作用假设，它指部总知识制约着儿童解答问题的心理过程。如果儿童缺少部总知识，儿童将不能解答加减应用题。如果儿童正确解答了问题，就说明儿童具备了部总知识。这种观点的持有者在总体上认为解答加减应用题的过程是一个逻辑数理知识应用的过程，并且解答问题的行为水平变化归因于集合、逻辑运算和数学运算等知识的发展（(Baroody Gannon, 1984; Briars和Larkin，1984； Nesher，1982; Wilkins, Baroody and Tiilikainen, 2000）。 部总知识的作用方式可以有两种。 一种就如Cummins及其同事所认为的(Cummins, Kintsch, Ruesser, Weimer, 1988)，在理解语言后，将各种数集打上部分集或总体集的标签，再利用各种具体的部总关系知识生成问题的答案。可以用下面的口语报告来说明这种部总知识作用方式。例如，对于下面的问题： 小红和小明一共有8本书，小红有5本书，问小明有几本书？ 一个8岁的男孩在听完问题之后，就说“这是一个减法题，8减去5等于3”，主试问为什么用减法，他回答“因为8是一个总数，5是一个部分数，求另一个部分数，当然要用减法”(徐敏毅，1995)。 另一种是运用数学知识转换算式。例如学生可以运用加法交换律对算式进行转换（Wilkins, Baroody and Tiilikainen, 2000；徐敏毅，1994）。对于问题“小明有一些苹果，小红又给了他5个，现在他有9个苹果，小明原来有几个苹果？”一位6岁的儿童说小明原来有4个苹果，因为“我用了加法。原来有多少，我不知道，小红又给了他5个，小明就有9个，所以，我从5个加上4个，就等于9个了。”研究者认为儿童开始的列式是“□+5=9”，但后来转换为“5+□=9”以利于计算（徐敏毅，1994）。这就是学生在利用加法交换律转换算式。运用加法与减法互补关系知识也能够转换算式，例如，“□+5=9”可以转换为“