03扭转变形概论.ppt

则单元体内的变形能为： 杆内的总变形能为： 计算外力偶的功 在线弹性范围内，有: 杆内的总变形能为： 计算外力偶的功 在线弹性范围内，有: 由功能原理: 若厚度? 不变，则有: 其中，S是截面中线的长度。 例 3 (书例3. 8) 已知：圆环形开口和闭口截面杆 的r和d 。 解： 求：比较二者的强度和刚度。 开口圆环 看作是狭长矩形 则有: 开口圆环 闭口圆环 则有: 开口圆环 闭口圆环 比较 若 则 比较 若 则 结论： 在同样情况下，开口薄壁杆 件的应力和变形都远大于闭口 薄壁杆件。 谢 谢 大 家 ! 本次课，第一节课，讲完扭转应力的平面假设（第16张幻灯片）。第二节课，讲完例3还有5分钟，最后讲到台阶轴的转角（第29张幻灯片）。 记 横截面对圆心O的极惯性矩。 代入剪切胡克定理: 最大切应力： 记: 最大切应力： 记: Wt 称为抗扭截面系数。 注意：以上公式只对等直圆杆成立。 对截面变化比较缓慢的圆截面直杆近似成立。 此外，?max应小于剪切比例极限。 4 圆轴扭转强度条件 强度条件为: 实心圆轴 注意：计算 ?max 应综合考虑T和Wt。 5 极惯性矩和抗扭截面系数的计算 空心圆轴 其中: 例1 已知：汽车传动轴为无缝钢管，D=90mm，t=2.5mm，Tmax=1.5kN·m, [τ]=60MPa。求：校核轴的强度。 解： 计算Wt 切应力 例2 上例中，将空心轴改为实心轴。要求与空心轴有相同的强度。Tmax=1.5kN·m。求：实心轴的直径。 解： 比较空心轴与实心轴 实心轴截面积 空心轴截面积 空心轴与实心轴截面积比 例3 已知：N=7.5kW, n=100r/min, ???＝40MPa, 空心圆轴的内外径之比 ? = 0.5。 解： 计算扭矩 求：实心轴的直径d1和空心轴的外径D2。 强度条件 实心轴 空心轴 §3.5 圆轴扭转时的变形 扭转角 扭转变形 ?? 两个横截面绕轴线的相对转角。 微段的扭转角 整体的扭转角 等直圆轴且扭矩不变时 GIp ?圆轴的抗扭刚度。 阶梯轴或多个集中力偶作用(扭矩分段变化) 变截面轴或均布力偶作用(扭矩连续变化) 等直圆轴且扭矩不变时 单位长度扭转角 刚度条件 若? 的单位为“度”，则 例4 已知：1、2轴共消耗功率0.756kW；3轴消耗功率2.98kW。4轴转速183.5r/min，G=80GPa。取[τ] =40 MPa,[?] =1.5o/m。 求：设计4轴的直径。 解： 计算力偶矩 取4轴, 受力如图 画出扭矩图 计算力偶矩 T 画出扭矩图 可得到： T 由强度条件 由刚度条件 最后取： 说明： 本题实际上是弯扭组合变形的问题。 ?由刚度条件控制 例5 ：把轴预加力偶矩m后与筒焊接，然后解除m。轴和筒的抗扭刚度分别为G1Iρ1和G2Iρ2 。 解： 求：轴和筒的扭矩。 设外力偶矩m撤销后， 轴内的扭矩为T1， 筒内的扭矩为T2。 静平衡方程 T1 T2 变形协调方程 设：焊接前轴在m的作用下的扭转角为? 。焊接并释放m后，杆的扭转角减小为?1 ，筒的扭转角为?2 ，转向如图。 所以： 物理关系 代入变形协调方程 与平衡方程联立解得 §3. 7 非圆截面杆扭转的概念 发生翘曲,平面假设不成立。 试验现象 对非圆截面杆的扭转问题，主要介绍矩形截面杆的扭转。 自由扭转 翘曲不受限制。 自由扭转 翘曲不受限制。 纵向纤维无伸长 横截面上无正应力 约束扭转 横截面上有正应力。 对实体杆，正应力可忽略。 横截面边缘处的切应力 横截面边缘处的切应力 横截面的边缘点 切应力与边界相切 横截面的凸角处 切应力为零 矩形截面杆自由扭转时的结论 切应力的分布特点 边缘各点的切应力与周边相切，沿周边方向形成剪流。 四个角点处切应力为零。 ?max 发生在长边中点 ? ?? 是与 h / b 有关的系数（表3.2）。 矩形截面杆自由扭转时的结论 切应力的分布特点 ?max 发生在长边中点 短边中点的切应力 两端的相对扭转角 矩形截面杆扭转时的系数(表3.2) 狭长矩形: 狭长矩形截面杆扭转切应力 扭转角 h / b ? 10 的矩形 切应力 这种情况下 所以 ? ?厚度 §3. 8 薄壁杆件的自由扭转 两类薄壁杆件: 开口薄壁杆件 闭口薄壁杆件 1 开口薄壁杆件的自由扭转 基本思路 将开口薄壁杆件的横截面看成是若干个狭长矩形的组合。 各组成部分的扭转角相等 横截面上承受的扭矩等于各部分承担的扭矩之和。 推导扭转角公式 由狭长矩形公式： 代入扭矩关系式，有: 基本假设 横截面在其自身平面内的投影的形状保持不变