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第三章 变化率与导数 §1 变化的快慢与变化率 银杏树高:15米 树龄:1 000年 雨后春笋高:15厘米 时间:两天 世界上变化无处不在，如何刻画事物变化的快慢呢？ ﹤ 1.理解函数平均变化率及瞬时变化率的概念. 2.会求给定函数在某个区间上的平均变化率及某一点的瞬时变化率.（重点） 3.理解平均变化率及瞬时变化率的意义，能够解释生活中的现象.（难点） 探究点1 平均变化率定义 问题（1） 物体从某一时刻开始运动，设s表示此物体经过时间t走过的路程，显然s是时间t的函数,表示为s=s(t).在运动的过程中测得了一些数据，如表： t(s) 0 2 5 10 13 15 … s(m) 0 6 9 20 32 44 … 物体在0～2s和10～13s这两段时间内，哪一段时间运动得更快？如何刻画物体运动的快慢？ 分析：我们通常用平均速度来比较运动的快慢. 在0～2s这段时间内，物体的平均速度为 在10～13s这段时间内，物体的平均速度为 显然，物体在后一段时间比前一段时间运动得快. 问题（2） 某病人吃完退烧药，他的体温变化如图所示： 比较时间x从0 min到20 min和从20 min到30 min体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？ y/(oC) x/min 0 10 20 30 40 50 60 70 36 37 38 39 分析：根据图像可以看出： 当时间x从0 min到20 min时，体温y从39 oC变为 38.5 oC，下降了0.5 oC； 当时间x从20 min到30 min时，体温y从38.5 oC变为 38 oC，下降了0.5 oC. 两段时间下降相同的温度，而后一段时间比前一段 短，所以后一段时间的体温比前一段时间下降得快. 我们也可以比较这两段时间中，单位时间内体温的平 均变化量，于是当时间x从0 min变到20 min时，体温y 相对于时间x的平均变化率为 当时间x从20 min变到30 min时，体温y相对于时间x的平均变化率为 这里出现了负号，它表示体温下降了，显然，绝对值越大，下降得越快，这里，体温从20 min到30 min这段时间下降得比0 min到20 min这段时间要快. 分析 上面的第一个问题中，我们用一段时间内物体的平均 速度刻画了物体运动的快慢，当时间从t0变为t1时， 物体所走的路程从s(t0)变为s(t1)，这段时间内物体 的平均速度是 第二个问题中，我们用一段时间内体温的平均变化率刻画了体温变化的快慢，当时间从x0变为x1时，体温从y(x0)变为y(x1)，体温的平均变化率 你能类比归纳出“函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率”的一般性定义吗？ 抽象概括： 1 .平均变化率的定义: 对一般的函数y=f（x）来说，当自变量x从 变为 时，函数值从f（ ）变为 ，它的平均变化率为 通常把自变量 - 称作自变量的改变量，记作 ，函数值的变化 称作函数值的改变量，记作 ，则有如下表示： x y B(x2,f(x2)) A(x1,f(x1)) O f(x2)-f(x1) =△y x2-x1 =△x 2.平均变化率的几何意义： 几何意义是曲线 上经过Ａ，Ｂ两点的直线的斜率. 斜率的概念 思考1.表达式中f(x2)-f(x1)与x2-x1的顺序可以交换吗？它们本身前后两个式子可以交换吗？ 提示: f(x2)-f(x1)与x2-x1的顺序不可交换，但它们本身的式子可以同时交换，如也可以写为 思考2.函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率如何计算？ 提示:设x在x0附近的变化量为Δx，则平均变化率 提示：对于一般的函数y=f(x),在自变量x从x0变到x1的过程中，若设 △x =x1-x0 △y =f(x1)-f(x0), 则函数的平均变化率是 思考：如何精确地刻画物体在某一瞬间的变化率呢？ 探究点2 瞬时速度、瞬时变化率 则当△x 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率. （1）瞬时变化率的表示 对于函数y=f(x),在自变量x从x0变到x1的过程中 ①自变量的改变量:Δx=_____; ②函数值的改变量:Δy=___________; ③平均变化率: =___________________; ④在x0点的瞬时变化率：当Δx趋于__时，平均变化率趋于某一常数，此常数即为瞬时变化率. (2)瞬时变化率的意义 瞬时变化率刻画的是函数在_____处变化的快慢. x1-x0 f(x1)-f(x0)