1.1-2二阶与三阶行列式概论.pptx

与 1 解析几何 线性代数 每周第一次上课交作业： 可以用打印纸或者活页纸； 写上姓名、学号（或座位号）和班级； 助教负责批改作业和答疑，答疑时间自行安排。 成绩分布： 平时成绩占30%（作业，期中考试，考勤） 期末考试占70% 2 多做题，多提问 3 学生问老师今年多大了，老师告诉学生：“当我像你这么大时，你才3岁，当你像我这么大的时候，我已经63了。”问老师今年多大了？ 小学奥数题 可以用初等方法求解 学生 老师 现在 现在 3 63 故老师和学生相差20岁 4 比较高级的方法是： 设未知数，列方程求解 设x为老师年龄，y为学生年龄 y-(x-y)=3 x+(x-y)=63 -x+2y=3 （1） 2x-y=63 （2） 如何求解方程？ 消元法 （1）+2（2）：3x=126 x=43 2（1）+（2）：3y=69 y=23 5 为何要讲这个例子？ 小学：动脑筋解应用题； 中学：列方程组消元法求解； 大学：用线性代数的办法来研究。 更直接的是，我们要从求解方程组引出行列式的概念。 第一章 行列式 6 7 §1.1 二阶与三阶行列式 作为定义n阶行列式的准备，先来讨论二阶和三阶行列式 用消元法求解 两式相减消去x2，得 8 考察一般的二元一次方程组： 方程组的解为 同时出现，应该起着关键的作用 类似地，消去x1，得 当a11 a22 - a12 a21≠0时， 9 基于此给出行列式的定义 定义： 10 D= = a11 a22 -a12 a21 其中 叫做一个二阶行列式。 二阶行列式的运算可理解为对角线法则 主对角线 副对角线 11 注意： 对角线元素乘积的差 顾名思义，关于行和列的运算关系 行列式是通过某种运算方式得到的一个数 有了行列式的概念，我们重新看方程组的解 从而 对于二元线性方程组 构成系数行列式 在D不为零的情况下 12 得方程组的解 13 例：求解二元线性方程组 解：第一步， 计算系数行列式是否为零 第二步，计算D1和D2 第三步，求比值 不难发现和用通常的消元法得到的结果是一致的 大前提，否则就不能用这一方法 14 最直接的定义三阶行列式的途径是什么？ 用消元法求三元线性方程组的通解，找出公共的分母。 这样的办法太麻烦了，能否类比二阶行列式已有的 表达式？ 对于三元线性方程组 定义 为三元线性方程组的三阶行列式. 沙路法 说明：三阶行列式包括6项,每一项都是位于不同行, 不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负. 16 例： 计算行列式　　　　　 在未介绍排列的逆序数之前，一般都按沙路法 解： 17 如果三元线性方程组 的系数行列式 同样，利用三阶行列式求解三元线性方程组 18 则三元线性方程组的解为: 19 其中 例： 解线性方程组 20 解：第一步，写出系数行列式，计算是否为零 得方程组的解为: 21 第二步，计算D1，D2，D3 第三步，求比值， -55 -99 -198 = = = 可以验证和消元法的结果是一致的 22 能否定义4阶乃至一般的n阶行列式？ 思路一：求n阶方程的通解，找公共分母。 太繁琐 思路二：类比二，三阶行列式。 但是对于四阶行列式而言 无法使用对角线法则或沙路法 23 观察三阶行列式： 行标均为123 列标各不同： 123 231 312 132 213 321 符号似乎与列指标的排列顺序有关 24 §1.2 n阶排列及其逆序数、对换 引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解： 1 2 3 1 2 3 百位 3种放法 十位 1 2 3 1 个位 1 2 3 2种放法 1种放法 种放法. 共有 25 定义：由自然数1，2，······，n 组成的一个n元有序数组称为一个n阶排列. 例如： 3，4，2，1 5，1，2，3，4 2，3，2，1，4 都是排列. 问题：不同的n阶排列有 个. n ! 定义：按数的大小次序，由小到大的排列称为自然排列. 26 3，1，5，4 都不是排列. 定义：在一个排列(i1i2…it…is…in) 中，若数 it is ，即一个较大的数字排在一个较小的数字之前（不须相邻），则称这两个数组成一个逆序. 27 定义： 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数，通常记为τ (i1i2 … in). 定义：逆序数为奇数的排列奇排列.逆序数为偶数的排列偶排列. 分别计算出排在 1,2,…,n-1前面比它大的数的个数， 即分别算出 1,2,…,n-1这n-1个元素的逆序数，记做τ1， τ2，…， τn-1, 他们的和即为所求排列的逆序数，即τ (i1i2 … in