1.1.1变化率问题课件概论.pptx

第一章 导数及其应用 1.1.1 变化率问题 问题1 气球膨胀率 在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是 若将半径 r 表示为体积V的函数, 那么 当空气容量V从0L增加到1L , 气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 当空气容量V从1L增加到2 L , 气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小 思考? 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 问题2 高台跳水 在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系 如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运动状态, 那么: 在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, 在1≤ t ≤2这段时间里, 平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。  (1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 探 究: 时间 3月18日 4月18日 4月20日 日最高气温 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃ 现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载. 观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度 变化，用曲线图表示为： （注： 3月18日为第一天） 问题3： 问题1：“气温陡增”是一句生活用语，它的数学意义 是什么？（形与数两方面） 问题2：如何量化（数学化）曲线上升的陡峭程度？ （1 ）曲线上BC之间一段几乎成了“直线”，由此联想如何量化直线的倾斜程度。 （2）由点B上升到C点，必须考察yC—yB的大小，但仅仅注意 yC—yB的大小能否精确量化BC段陡峭程度，为什么？ 在考察yC—yB的同时必须考察xC—xB，函数的本质在于一个 量的改变本身就隐含着这种改变必定相对于另一个量的改变。 (3)我们用比值 近似地量化B、C这一段曲线的陡峭程度，并称该比值为【32，34】上的平均变化率 (4)分别计算气温在区间【1，32】 【32，34】的平均变化率 定义: 平均变化率: 式子 称为函数 f (x)从x1到 x2的平均变化率. 令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则 理解： 1，式子中△x 、△ y 的值可正、可负，但 的△x值不能为0， △ y 的值可以为0 2，若函数f (x)为常函数时， △ y =0 3, 变式 思考: 观察函数f(x)的图象 平均变化率 表示什么? O A B x y y=f(x) x1 x2 f(x1) f(x2) x2-x1 f(x2)-f(x1) 直线AB的斜率 练习： 1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则 Δy/Δx=( ) A 、 3 B、 3Δx-(Δx)2 C 、 3-(Δx)2 D 、3-Δx D 2、求y=x2在x=x0附近的平均变化率. 2x0+Δx 小结： 1.函数的平均变化率 2.求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1); (2)计算平均变化率 作业 1、预习导数的概念 2、课后练习及习题