1.1.3变化率与导数概论.ppt

1.1.3 导数的几何意义 1.平均变化率的定义 复 习 2.平均变化率的几何意义 割线AB的斜率 3. 导数的定义 P Q o x y y=f(x) 割线 切线 T 导数的几何意义: 我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ如果有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 导数的几何意义 它提供了一种求曲线的切线斜率的方法. ① 以曲线上的一点为切点, 可以不存在切线; ② 曲线的切线, 并不一定与曲线只有一个交点, 可 以有多个甚至无穷多个交点. 注意 设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率. 即: 这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数. 要注意,曲线在某点处的切线: 1) 与该点的位置有关; 要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在 此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线; 3) 曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点, 可以有多个,甚至可以无穷多个. P Q o x y y=f(x) 割线 切线 T 练习: 求曲线y=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. y－2=2(x－1), 因此,切线方程为 即 y=2x. 例: 过点O(0,0)作曲线y=x2+1的切线, 求切线方程. 解 设切点为( x0,y0), 因此,切线方程为y=±2x. 例2 如图, 它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 的图象. 根据图象, 请描述、比 较曲线 在 附近的变化情况. 解: 可用曲线 h(t) 在 t0 , t1 , t2 处的切线刻画曲线 h(t) 在上述三个时刻附近的变化情况. (1)当 t = t0 时, 曲线 h(t) 在 t0 处的切线 l0 平行于 x 轴.故在 t = t0 附近曲线比较平坦, 几乎没有升降. (2)当 t = t1 时, 曲线 h(t) 在 t1 处的切线 l1 的斜率 h’(t1) 0 .故在t = t1 附近曲线下降,即函数 h(t) 在 t = t1 附近单调递减. t o h l0 t0 t1 l1 t2 l2 t4 t3 (3)当 t = t2 时, 曲线 h(t) 在 t2处的切线 l2 的斜率 h’(t2) 0 .故在 t = t2 附近曲线下降,即函数 h(t) 在t = t2 附近也单调递减. 从图可以看出, 直线l1的倾斜程度小于直线l2的 倾斜程度，这说明 h(t) 曲线在l1附近比在l2附近下 降得缓慢。 例3．如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t)（单位：mg/ml）随时间t（单位：min）变化的函数图像，根据图像，估计 t=0.2, 0.4, 0.6, 0.8（min）时，血管中药物浓度的瞬时变化率, 把数据用表格的形式列出(精确到0.1). 解: 血管中药物浓度的瞬时变化率, 就是药物浓度 f(t)在此时刻的导数, 从图象上看,它表示曲线 f(t)在该点处的切线的斜率. 作t=0.8处的切线, 并取两点(0.7, 0.91), (1.0, 0.48) 求得k=－1.4. 仿此下去得到表格: t 0.2 0.4 0.6 0.8 药物浓度的瞬时变化率 0.4 0 －0.7 －1.4 在不致发生混淆时，导函数也简称为导数． 导函数 由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到, f’(x0) 是一个确定的数. 那么, 当x变化时, f’(x)便是 x的一个函数, 我们叫它为f(x)的导函数.即: 练习 P10 6 (1) (2) (3) 作业 P10 4 P11 3 * * * *