1.1集合学案(人教A版必修1)概论.doc

第一章　集合与函数概念 §1.1　集　合 【入门向导】　渔民与数学家的故事 一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义，于是，他请教数学家：“尊敬的先生，请您告诉我，集合是什么？”集合是不定义的概念，数学家很难回答那位渔民，有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下鱼网，轻轻一拉，许多鱼虾在网中跳动．数学家非常激动，高兴地告诉渔民：“这就是集合！”这一网鱼虾可以构成一个集合，网中的这些鱼也可以构成一个集合，这些虾也可以构成一个集合，那将形成鱼虾集合、鱼集合与虾集合，这三个集合之间又有怎样的关系呢？同学们，你能告诉渔民吗？ 解读集合的有关概念 一、注意集合的概念与“全体”的区别 集合的概念是现代数学中不定义的原始概念．集合的概念虽然也含有“全体”的意思，但是与通常所理解的全体是有区别的，集合中的元素必须是确定的，必须能判断任何一个对象是不是它的元素，而全体则不一定能成为一个集合．例如，“我校高一学生中高个子同学的全体”就不能构成集合，而“我校高一学生中所有身高高于170厘米的同学的全体”则能构成集合． 二、加强对集合元素的三大特性的理解 1．确定性：对于一个集合中每一个元素都是可以客观的用一个标准明确地来判断该元素是或不是集合中的元素．如上述“高个子同学”并没有明确的标准来判断身高为多高是“高个子”，即集合中的元素是不确定的． 2．互异性：所谓互异是指集合中的元素必须是互不相同的，不会有完全相同的元素．在解题中尤其要注意对结果进行检验，不能忽视． 例1 已知x2{1,0，x}，求实数x的值． 解　若x2＝0，则x＝0，此时集合为{1,0,0}，不符合集合中元素的互异性，舍去． 若x2＝1，则x＝±1. 当x＝1时，集合为{1,0,1}，舍去； 当x＝－1时，集合为{1,0，－1}，符合． 若x2＝x，则x＝0或x＝1，不符合互异性，都舍去． 综上可知：x＝－1. 3．无序性：集合是一个整体，集合中的元素排列是没有顺序限制的，所以同学们应知道集合{a，b，c}，{b，a，c}，{c，b，a}都是同一集合．为帮助同学们记忆，特总结口诀如下： 集合平常很常用，数学概念各不同； 理解集合并不难，三个要素是关键； 元素确定与互异，还有无序要牢记． 三、注重对空集概念的理解 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作.空集是特殊的集合，不含有任何元素，规定它是有限集． 注意　空集和集合{0}是不同的，是不含任何元素的集合，而{0}表示只含有一个元素“0”的集合． 和{}也是不一样的，是不含任何元素的集合，{}表示只含有一个字母“”的集合，也可以看作由作为元素构成的集合． 四、正确理解集合与集合的关系 集合与集合之间是包含关系，它反映出了“一个整体”相对于另“一个整体”之间的关系．包含关系有三种：子集、真子集和相等． 1．“集合A是集合B的子集”，意思是集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，但不能把“集合A是集合B的子集”理解为集合A是由集合B中部分元素组成的集合，因为空集和集合B都是集合B的子集． 2．“集合A是集合B的真子集”有两层含义，一是集合A是集合B的子集，二是集合A与集合B不相等，即集合B中至少有一个元素不属于集合A. 3．要证明A＝B，只需要证明AB且BA成立即可．即可设任意x0A，证明x0B从而得出AB.又设任意y0B，证明y0A从而得到BA，进而得到A＝B. 例2 已知集合A＝{x|x＝kπ＋，kZ}，B＝{x|x＝kπ＋，kZ}，判断集合A与集合B是否相等．可用列举法解之． 解　即A＝{…，，，，，…}， B＝{…，，，，π，，…}．观察可知，A≠B. 4．若集合A中含有n个元素，则集合A有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集． 集合易错点剖析 一、符号意义不清致错 例3 已知集合X＝{0,1}，Y＝{x|xX}，那么下列说法正确的是(　　) A．X是Y的子集　　　　　B．X是Y的真子集 C．Y是X的真子集 D．X是Y的元素 错解　B 剖析　集合中符号意义必须清楚． 正解　因为Y＝{x|xX}＝{{}，{0}，{1}，{0,1}}，所以XY.故选D. 二、代表元素意义不清致错 例4 集合A＝{y|y＝x2，xR}，B＝{(x，y)|y＝x＋2，xR}，则A∩B＝(　　) A．{(－1,1)，(2,4)} B．{(－1,1)} C．{(2,4)} D． 错解　由得或 故选A. 剖析　导致错误的原因是没有弄清集合中元素的意义，A中的元素是实数y，而B中的元素是实数对(x，y)，也就是说，集合A为数集，集合B为点集，因此A、B两个集合中没有公共元素，从而这两个集合的交集为空集． 正解　D 三、忽视集合元素的互异性致错 例5 已知集合A＝{2,3，a2＋4a＋2}，B＝{0,7