1.3.条件概率与独立性概论.ppt

例 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7, 飞机被一人击中而被击落的概率为0.2 ,被两人击中而被击落的概率为 0.6 , 若三人都击中飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率. * * 伯恩斯坦反例 例 一个均匀的正四面体， 其第一面染成红色， 第二面染成白色 ， 第三面染成黑色，而第四面同 时染上红、白、黑三种颜色.现以 A ， B，C 分别 记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件， 问 A，B，C是否相互独立? * 例 在可靠性理论上的应用: 如图，1、2、3、4、5表示继电器触点,假设每个触点闭合的概率为p,且各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率。 * 设A=R---L至R为通路,Ai=第i个继电器通,i=1,2,…5 由全概率公式 * 五、 贝努利概型 定义：有一随机试验，观察事件A发生与否， 将此试验独立地重复进行n次，则称此模型为n重贝努利概型。 求在n次独立试验中事件A发生k次的概率。 * * * * 定理：事件A在一次Bernoulli试验中发生的概率 为p，在n次Bernoulli试验中事件A恰好发生k次 的概率记作：B(k;n,p)。则 * 例9 某物业公司负责小区内的40家住户的各种维修业务，已知一周内向物业公司保修的概率为0.1，求一周内至少有三家住户保修的概率为多少。 可以认为小区住户向是否物业公司保修是相互独立的，可看作n=40，p=0.1的Bernoulli模型，所求的概率为： * 例10 事件A在一次Bernoulli试验中发生的概率 为p，连续试验，直到事件A发生r次试验才停止，问事件A第r次发生在第n次试验的概率？ 解：P(事件A第r次发生在第n次试验) * 作业：p67 26 * * 袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球(不放回)，问 第一个人取得红球的概率是多少？ 第二个人取得红球的概率是多少？ 1.３ 条件概率与事件独立性 * 若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取到红球的概率是多少？ 已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为 在A条件下B发生的条件概率，记作P(B|A) 若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少？ * 一、条件概率 例1 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回， （1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率; （2）求第一次取到红球的概率 （3）求两次均取到红球的概率 设A——第一次取到红球,B——第二次取到红球 * 显然，若事件A、B是古典概型的样本空间中的两个事件，其中A含有nA个样本点,AB含有nAB个样本点，则 称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率. 一般地，设A、B是?中的两个事件，则 * 条件概率的性质 (1) 非负性: P(B|A) ?≥0； (2) 规范性: P(?|A)＝1； (3) 可列可加性：设B1，B2，…, 是一列两两互不相容的事件，即BiBj＝?，(i?j), i , j＝1, 2, …, 有 P[( B1 ?B2 ? … )|A]＝ P(B1 |A ) ＋P(B2 |A)+…. * 例2 一盒中混有100只新 ,旧乒乓球，各有红、白两色，分 类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。 红 白 新 40 30 旧 20 10 设A--从盒中随机取到一只红球. B--从盒中随机取到一只新球. * 二、乘法公式 设A、B? ? ?，P（A）0,则 P(AB)＝P(A)P(B|A). 称为事件A、B的概率乘法公式。 乘法公式还可推广到三个事件的情形： P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般地，有下列公式： P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1). * 例3 盒中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。 解：设Ai为第i次取球时取到白球，则 * 例.一宿舍有5名同学，获得了一张“最受欢迎的十 大歌手”演唱会的门票，同学们想采取抓阄的方法 进行分配，请问这种分法公平么？ * 定义 事件组A1，A2，…，An (n可为?)，称为样本空间?的一个完备事件组（分割），若满足： A1 A2 … … … … … An B 三、全概率公式与贝