1.3频率和概率概论.ppt

随机事件和样本空间 事件的关系和运算 第一节 随机事件 频率及其性质 概率的定义 概率的性质 第三节 频率和概率 随机试验：为探索和研究随机现象的规律性，就需要进行一系列的试验，包括各种各样的科学试验和对随机现象的观察。 例：为检查某工厂一批产品的质量，从中分别抽取 10 件、20 件、50 件、100 件、150 件、200 件、300 件来检查，检查结果如下表： 一、频率及其性质 由上表可以看出，在抽出的 n 件产品中，次品数 m 随着 n 的不同而取不同的值，但次品数/抽取的总件数，即m/n，仅在 0.05 附近有微小变化。 一、频率及其性质 抽取产品总件数 n 10 20 50 100 150 200 300 次品数 m 0 1 3 5 7 11 16 次品数/抽取的总件数 m/n 0 0.050 0.060 0.050 0.047 0.055 0.053 频率：若在相同条件下进行 n 次试验，其中事件 A 发生的次数为 rn(A)，则称 为事件 A 的 频率，对应的 rn(A) 称为事件 A 的频数。 频率的基本性质： （1） （2） （3）设 是 n 个两两互不相容事件，则 一、频率及其性质 依频率的定义可知，频率反映了一个随机事件在大量重复试验中发生的频繁程度。同时，通过大量试验证实，当试验次数增大时，事件发生的频率总是稳定在一个确定的常数附近，而且偏差随着试验次数的增大而越来越小。频率的这种性质在概率论中称为频率的稳定性 。因此，以它来表征一个事件发生的可能性大小是合适的。 合适就可以用吗？ 一、频率及其性质 首先，频率的稳定值是概率的外在表现，并非是概率的本质。 其次，在实际中，我们不可能对每个事件都做大量的试验，然后求得事件的频率，用以表征事件发生可能性的大小。 1933年，苏联著名数学家柯尔莫戈洛夫，在他的《概率论的基本概念》一书中，给出了目前已被广泛接受的概率的公理化定义体系。 一、频率及其性质 频率及其性质 概率的定义 概率的性质 第三节 频率和概率 概率的公理化定义：设 E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于 E 的每一个事件 A 赋予一个实数，记为 P(A)，若 P(A) 满足下列三个条件： （1）非负性：对每一个事件 A，有 P(A) ≥0； （2）规范性： （3）可列可加性：设 是两两互不相容的事件，则有 则称 P(A) 为事件 A 的概率。 二、概率的公理化定义 频率及其性质 概率的定义 概率的性质 第三节 频率和概率 性质 1：P（?）=0 证明： 则 且 由概率的可列可加性，得 由概率的非负性知， ，故由上式可知 三、概率的性质 性质 2（有限可加性）：设A1, A2,……，An是两两不相容容的事件，则有 P(A1 ∪ A2 ∪……∪ An)= P（A1）+ P（A2）+ P（An） 证明：令 则 由概率的可列可加性，得 三、概率的性质 性质 3：对任意一个事件 A，P（A）= 1 - P（A） 证明： 在性质 2 中，取 n = 2， A1 = A， A2 = A，则 三、概率的性质 因此， 即， 性质4：如果事件A 和B 满足A ? B，则有 P(B - A) = P(B) - P(A)，P(A)≤P(B). 性质5：对任一事件 A，P(A) ≤1. 性质6：对任意两个事件A 和 B，P(A-B) = P(A) - P(AB). 三、概率的性质 性质7（加法公式）：对任意两个事件A 和B ，则有 P(A∪B)= P(A) + P(B)- P(AB) 三、概率的性质 证明： 由于 A∪B = A∪(B-A)，且 A∩(B-A)= ?， 因此，由性质2，P(A∪B) = P(A)+P(B-A) = P(A)+P(B)-P(AB)（性质6） 性质7(三个事件时)：对任意三个事件A 、B 和 C ，则有 P(A∪B∪C)= P(A)+P(B)+P(C)- P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) 性质7（n个事件时）： 三、概率的性质 例1：设 P(A)=0.1, P(A+B)=0.3, 且A , B 互不相容, 求 P(B). 解：由于 A , B 互不相容, 则 P(AB)=0, 再由 P(A+B)=P(A)+P(B)