10号文献收获总结概论.docx

1. Delaunay三角剖分Voronoi图定义2.计算Delaunay三角剖分的算法及分析3.例子程序代码大话点集的三角剖分（Triangulation），对数值分析（比如有限元分析）以及图形学来说，都是极为重要的一项预处理技术。尤其是Delaunay三角剖分，由于其独特性，关于点集的很多种几何图都和Delaunay三角剖分相关，如Voronoi图，EMST树，Gabriel图等。Delaunay三角剖分有几个很好的特性：1.最大化最小角，“最接近于规则化的“的三角网。2.唯一性（任意四点不能共圆）。概念及定义二维实数域(二维平面)上的三角剖分定义1：假设V是二维实数域上的有限点集，边e是由点集中的点作为端点构成的封闭线段, E为e的集合。那么该点集V的一个三角剖分T=(V,E)是一个平面图G，该平面图满足条件：1.除了端点，平面图中的边不包含点集中的任何点。2.没有相交边。3.平面图中所有的面都是三角面，且所有三角面的合集就是点集V的凸包。那什么是Delaunay三角剖分呢?不过是一种特殊的三角剖分罢了。从Delaunay边说起。Delaunay边定义2：假设E中的一条边e（两个端点为a,b），e若满足下列条件，则称之为Delaunay边：存在一个圆经过a,b两点，圆内不含点集V中任何的点，这一特性又称空圆特性。Delaunay三角剖分定义3：如果点集V的一个三角剖分T只包含Delaunay边，那么该三角剖分称为Delaunay三角剖分。我们看几个图：由上面的图引出Delaunay三角剖分的另一种定义：定义4：假设T为V的任一三角剖分，则T是V的一个Delaunay三角剖分，当前仅当T中的每个三角形的外接圆的内部不包含V中任何的点。?Voronoi图定义5：V的Voronoi图是由多边形区域的集合（有些区域可能不是闭合的），该区域仅含点集中的一个点v，区域中的任何位置到v的距离都比该位置到点集中其它所有点的距离短。由Voronoi图和Delaunay三角剖分的关系，可以引出另一个Delaunay三角剖分的定义：定义6：将Voronoi图相邻区域（共边的区域）中的点连接起来构成的图，称为Delaunay三角剖分。如下图：概念部分到此，下面看看怎么求Delaunay三角剖分。计算Delaunay三角剖分问题1：计算二维Delaunay三角剖分问题输入：二维实数域上的点集V问题输出：Delaunay三角剖分DT = (V, E).算法由不同的定义对应有不同的算法。用得较多的是基于定义3或4的算法。目前常用的算法又分为好几种，被不同的家伙发现。什么扫描线法（Sweepline），随机增量法（Incremental），分治法（Divide and Conquer）啊等等。随机增量法（Incremental）其中，随机增量法较为简单，遵循增量法的一贯思路，即按照随机的顺序依次插入点集中的点，在整个过程中都要维护并更新一个与当前点集对应的Delaunay三角剖分。考虑插入vi点的情况，由于前面插入所有的点v1,v2,...,vi-1构成的DT(v1,v2,...,vi-1)已经是Delaunay三角剖分，只需要考虑插入vi点后引起的变化，并作调整使得DT(v1,v2,...,vi-1) U vi成为新的Delaunay三角剖分DT(v1,v2,...,vi)。(插入调整过程：首先确定vi落在哪个三角形中（或边上），然后将vi与三角形三个顶点连接起来构成三个三角形（或与共边的两个三角形的对顶点连接起来构成四个三角形），由于新生成的边以及原来的边可能不是或不再是Delaunay边，故进行边翻转来调整使之都成为Delaunay边，从而得出DT(v1,v2,...,vi)。)其Pseudocode如下：Algorithm IncrementalDelaunay(V)Input: 由n个点组成的二维点集VOutput: Delaunay三角剖分DT1.add a appropriate triangle boudingbox to contain V ( such as: we can use triangle abc, a=(0, 3M), b=(-3M,-3M), c=(3M, 0), M=Max({|x1|,|x2|,|x3|,...} U {|y1|,|y2|,|y3|,...}))2.initialize DT(a,b,c) as triangle abc3.for i - 1 to n???? do (Insert(DT(a,b,c,v1,v2,...,vi-1), vi))???4.remove the boundingbox