10矩估计和极大似然估计概论.ppt

设总体X的分布列为： 解： 似然函数为 似然估计值。 例2 是来自总体X的样本，求 p 的极大 令 即 所以参数 的极大似然估计量为 解 例3 设 X1, X2, …, Xn 是取自总体X 的一个样本, ，求参数λ的极大似然估计值。 似然函数为: 例4 设 未知， 是一个样本值 求 的极大似然估计量. 解 设 的概率密度为： 似然函数为 等价于 因为 对于满足 的任意 有 即 时,取最大值 在 似然函数为 故 的极大似然估计值为: 故 的极大似然估计量为: 即 时,取最大值 在 似然函数为 今取得一组样本Xk数据如下，问如何估计θ？ 16 29 50 68 100 130 140 270 280 340 410 450 520 620 190 210 800 1100 某电子管的使用寿命 X （单位：小时) 服从指数分布 例5 指数分布的点估计 分析 可用两种方法：矩法估计 和极大似然估计. 1）矩法估计 2）极大似然估计 构造似然函数 当xi0,（i=1,2, …,n) 时，似然函数为 取对数 建立似然方程 5. 得极大似然估计量： 求解得极大似然估计值 似然函数为： 例6 设 为未知参数， 是来自X的一个样本值，求 的极大似然估计值。 解： X的概率密度为： 解得： 令 即： * 二、极大似然估计法 一 、矩法估计 第七章 参数估计 三、估计量的评选标准 四、置信区间 参数估计 参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息 估计湖中鱼数 … … 估计平均降雨量 来估计总体的某些参数或者参数的某些函数。 统计推断：参数估计和假设检验。 参数估计要解决问题: 总体分布函数的形式为已知, 需要确定未知参数。 但其中参数θ 未知时， 这类问题称为参数估计问题。 只有当参数θ 确定后， 才能通过率密度函数计算概率。 对于未知参数， 如何应用样本 所提供的信息去对其一个或多个未知参数进行估计。 参数估计是对已知分布类型的总体， 参数估计 点 估 计 区间估计 矩 估 计 极大似然估计 参数估计可作如下划分 利用样本对其未知参数作出估计 1. 矩估计 2. 极大似然估计 3. 最小二乘法 4. 贝叶斯方法 …… 这里我们主要介绍前面两种方法 . 寻求估计量的方法 点估计问题： 构造一个适当的统计量 用它的观察值 来估计未知参数θ. 称 为θ的估计量， 为θ的估计值. 参数估计： 点估计:估计θ的具体数值; 区间估计:估计θ的所在范围. 第七章 第一节 矩 法 估 计 二、常用分布参数的矩法估计 一 、矩法估计 一 . 矩估计法 故用样本矩来估计总体矩 基本原理： 总体矩是反映总体分布的最简单的 数字特征， 当总体含有待估计参数时， 总体矩是 待估计参数的函数。 样本取自总体， 样本矩在一定程度上可以逼近总体矩， 由英国统计学家K.皮尔逊最早提出的。 其中 是待估参数. 为来自 的样本, 存在, 设总体的k阶矩 则样本的k阶矩 (由大数定理) 令 从中解得 k个方程组 即为矩估计量。 矩估计量的观察值称为矩估计值。 设总体X的分布函数为 矩估计步骤： 连续型 离散型 所以参数 p 的矩估计量为 例： 总体 X 的分布列为 ： 是来自总体X的样本， 解： 由于总体X 的分布为二项分布， 设某炸药厂一天中发生着火现象的次数X 例1 服从 下面我们通过几个例子说明利用矩估计法求 未知参数的过程。 二、常用分布常数的矩法估计 例2 解 注: 总体均值方差的矩估计量与总体分布无关。 做矩估计时,也可用中心矩建立关于未知参数的 方程组， 因而矩估计不唯一。 λ未知，求参数λ的矩估计。 例3 解： 解 不合格品率 p 的矩法估计 分析 设总体X 为抽的不合格产品数，相当于抽取了 一组样本X1，X2，… ，Xn , 且 因 p=EX, 故 p 的矩估计量为 设某车间生产一批产品，为估计该批产品不合格品 (即出现不合格产品的频率). 例4 率，抽取了n 件产品进行检查. 例5 解 θ是未知参数，X1，X2，…,Xn，是X 的一组样本， 解 设总体X的概率密度为 解得 例6 求θ的矩估计量. 其中θ＞0，μ与θ是未知参数，X1，X2，…,Xn， 是X 的一组样本，求μ与θ的矩估计量. 解 例7. 设总体X的概率密度为 令 令 注意到 DX = E ( X2 )－( EX )2=θ2 =θ2+(θ+μ)2 第七章 第二节 极大似然估计 极大似然估计 极大似然法的基本思想 先看一个简单例子： 一只野兔从前方窜过 . 是谁打中的呢？ 某位同学与一位猎人一起外出打猎 . 如果要你推测， 你会如何想呢