10：活用“审题路线图”,破解高考不再难概论.doc

审题 审题是解题的开端，深入细致的审题是成功解题的必要前提．著名数学教育家波利亚说，“最糟糕的情况就是学生没有弄清问题就进行演算和作图．”为此波利亚总结出一张“怎样解题表”，将解题的过程分为四个阶段．其中第一步弄清问题就是我们常说的审题．审题就是多角度地观察，由表及里，由条件到结论，由数式到图形，洞察问题实质，选择正确的解题方向．事实上，很多考生往往对审题掉以轻心，或不知从何处入手进行审题，致使解题失误而丢分，真是令人痛心不已．本讲结合实例，教你正确的审题方法，给你制订一条“审题路线图”，破解高考不再难． 一审条件挖隐含 任何一个数学问题都是由条件和结论两部分构成的．条件是解题的主要素材，充分利用条件间的内在联系是解题的必经之路．条件有明示的，有隐含的，审视条件更重要的是要充分挖掘每一个条件的内涵和隐含的信息，发挥隐含条件的解题功能． 例1　(2014·重庆)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω0，－≤φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值； (2)若f()＝(α)，求cos(α＋)的值． 审题路线图 条件：f(x)图象上相邻两个最高点距离为π ↓挖掘三角函数图象的特征 f(x)的周期为π ↓T＝，ω0(已知) ω＝2 条件：f(x)图象关于直线x＝对称 ↓f()取到最值 2×＋φ＝kπ＋(k∈Z) ↓－≤φ(已知) φ＝－ ↓ 条件：f()＝ ↓代入f(x) sin(α－)＝ ↓条件απ cos(α－)＝ ↓欲求cos(α＋π)＝sin α＝sin[(α－)＋] sin α＝ ↓ cos(α＋π)＝ 解　(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期为T＝π，从而ω＝＝2. 又因为f(x)的图象关于直线x＝对称， 所以2×＋φ＝kπ＋，k∈Z. 由－≤φ，得k＝0， 所以φ＝－＝－. (2)由(1)得f()＝sin(2·－)＝， 所以sin(α－)＝. 由α， 得0α－， 所以cos(α－)＝＝＝. 所以cos(α＋)＝sin α＝sin[(α－)＋] ＝sin(α－)cos＋cos(α－)sin ＝×＋× ＝. (2014·四川)已知函数f(x)＝sin(3x＋)． (1)求f(x)的单调递增区间； (2)若α是第二象限角，f()＝cos(α＋)cos 2α，求cos α－sin α的值． 解　(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z， 由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z， 得－＋≤x≤＋，k∈Z. 所以函数f(x)的单调递增区间为[－＋，＋]，k∈Z. (2)由已知，有sin(α＋)＝cos(α＋)(cos2α－sin2α)， 所以sin αcos＋cos αsin ＝(cos αcos－sin αsin)(cos2α－sin2α)， 即sin α＋cos α＝(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)． 当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝＋2kπ，k∈Z. 此时，cos α－sin α＝－. 当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝. 由α是第二象限角，知cos α－sin α0， 此时cos α－sin α＝－. 综上所述，cos α－sin α＝－或－. 二审结论会转换 问题解决的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误．因而解决问题时的思维过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的．审视结论，就是在结论的启发下，探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律．善于从结论中捕捉解题信息，善于对结论进行转化，使之逐步靠近条件，从而发现和确定解题方向． 例2　已知函数f(x)＝x2＋aln x. (1)若a＝－1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值； (2)若a＝1，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值； (3)若a＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x3的图象的下方． 审题路线图 求f(x)的极值 ↓(从结论出发向条件转化，注意隐含条件——定义域) 求f′(x)＝0的解，即f(x)的极值点 ↓(转化为求函数值) 将极值点代入f(x)求对应的极大、极小值 ↓(转化为研究单调性) 求f(x)在[1，e]上的单调性 ↓(转化为求函数值) 比较端点值、极值，确定最大、最小值 ↓(构造函数进行转化) F(x)＝f(x)－g(x) ↓(将图象的上、下关系转化为数量关系) 求证F(x)0在[1，＋∞)上恒成立． ↓研究函数F(x)在[1，＋∞)上的单调性． (1)解　由于函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， 当a＝－1时，f′(x)＝x－＝， 令f′(x)＝0得x＝1或x＝－1(舍去)， 当x∈(0,1