11生产理论(修改)概论.ppt

(2)若 則 f 在(a, b)點有相對極大值。 (3)若　　　　　　　　　　　　 則無任 何結論。 3-8 例題3-25 在 x+y = 4的條件下，試求 z = x2+y2+2x+2y+4的極值。 解：依題意 max or min z = x2+y2+2x+2y+4 s.t x+y = 4 拉氏函數為 L(x,y,?) = x2+y2+2x+2y+4 + ?(4- x-y) 由?、?得知 -2x-2 = -2y-2 ? x = y 代入? 4-x-y = 0 ?4-2x = 0 ? x = 2 = y ? = -2x-2 = -6 ? ? ? 又 因為 0， 0， 故當 x = 2 ， y = 2 ，z 有最小值。 z = x2+y2+2x+2y+4 = 22+22+2?2+2?2+4 = 4+4+4+4+4 = 20 2 2 2 2 2 2 2 假定我們考慮的問題仍是 max or min z = f (x,y) s.t g (x,y) = b 則拉氏函數必要條件中所解出的乘數 ?，在問題中具有重 要的意義。設 z0 表示在 g (x,y) = b 限制下，目標函數 f 的 極值。若改變 b 值為 b，則在 g (x,y) = b 的限制下，我們 可得出一組新的最佳解(x,y)，因此 z0 亦隨之改變。事實 上，我們可證明與的關係為 故乘數 ? 的意義可解釋如下： (1)當? 0，若b增加(減少)一單位，則 z0 增加(減少)?單位 (2)當? 0，若b增加(減少)一單位，則 z0 減少 (增加)?單位 例題3-26 在例題 3-24 中，拉氏乘數 ? = 1.05。因此可 知，若廣告預算由原來的400,000元增加至400,001 元時，公司商品的銷售額可大約增加 1.05 元。顯 然， 此時增加廣告預算是件明智之舉。 例題3-27 假設某工廠生產兩種產品的成本函數為 C = 6x2+10y2-xy+30 (以百元為單位) 其中 x、y 分別代表兩種產品的數量。由於客戶訂單上要 求 x + y = 34，試問 (1)最小成本為若干？ (2)若訂單上要求的是 x + y = 33，大約可降低成本若干？ 解：因本問題是求最小成本 min C，將 min 改成 max min C ? max (- C) ，則其數學模型為 max (- C) = -(6x2+10y2-xy+30) s.t x + y = 33 則可得拉氏函數為 L(x,y,?) = -(6x2+10y2-xy+30) + ?(34- x-y) 由?、?得知 -12x+y = x-20y ? -13x = -21y ? x = (21/13)y 代入? 34 - (21/13)y - y = 0 ? 34 = (34/13) y ? y = 13 x = (21/13)y = (21/13)13 = 21 ， ? = -12x+y = -12?21+13 = -252+13 = -239 ? ? ? 其解為 x = 21， y = 13 ，? = -239 因此最小成本為 C = 6x2+10y2-xy+30