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第十一篇　概率、随机变量及其分布A 第1讲　随机事件的概率 [必威体育精装版考纲] 1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别． 2．了解两个互斥事件的概率加法公式. 知 识 梳 理 1．频率与概率 (1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率． (2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率． 2．事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B?A(或A?B) 相等关系 若B?A且A?B A＝B 并事件(和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 交事件(积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 互斥事件 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 A∩B＝? 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝? P(A∪B)＝ P(A)＋P(B)＝1 3.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率P(E)＝1. (3)不可能事件的概率P(F)＝0. (4)互斥事件概率的加法公式 ①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． ②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)． 辨 析 感 悟 1．对随机事件概念的理解 (1)“物体在只受重力的作用下会自由下落”是必然事件．(√) (2)“方程x2＋2x＋8＝0有两个实根”是不可能事件．(√) (3)(2014·广州调研C项)“下周六会下雨”是随机事件．(√) 2．对互斥事件与对立事件的理解 (4)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(√) (5)(2014·郑州调研B项)从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取一张，“抽取黑桃”与“抽取方块”是对立事件．(×) 3．对频率与概率的理解 (6)(教材练习改编)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(√) (7)(教材习题改编)集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率为.(√) (8)(2014·临沂调研改编)甲、乙二人下棋，甲获胜的概率是0.3，甲不输的概率为0.8，则甲、乙二人下成和棋的概率为0.5.(√) [感悟·提升] 两个区别　一是“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件，如(5)中为互斥事件． 二是“频率”与“概率”：频率与概率有本质的区别，不可混为一谈．频率随着试验次数的改变而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象．当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就可以近似地当作随机事件的概率. 考点一　事件的关系与运算 【例1】 一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则(　　)． A．A与B是互斥而非对立事件 B．A与B是对立事件 C．B与C是互斥而非对立事件 D．B与C是对立事件 解析　根据互斥与对立的定义作答，A∩B＝{出现点数1或3}，事件A，B不互斥更不对立；B∩C＝?，B∪C＝Ω(Ω为必然事件)，故事件B，C是对立事件． 答案　D 规律方法 对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系． 【训练1】 对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹．设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________． 解析　设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A∩B＝?，A∩C＝?，B∩C＝?，B∩D＝?.故A与B，A与C，B与C，B与D为彼此互斥事件，而B∩D＝?，B∪D＝I，故B与D互为对立事件． 答案　A与B，A与C，B与C，B与D　B与D