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第三章 习题解答 参看图3.5，在推导相干成像系统点扩散函数（3.35）式时，对于积分号前的相位因子 试问 物平面上半径多大时，相位因子 相对于它在原点之值正好改变π弧度？ 设光瞳函数是一个半径为a的圆，那么在物平面上相应h的第一个零点的半径是多少？ 由这些结果，设观察是在透镜光轴附近进行，那么a，λ和do之间存在什么关系时可以弃去相位因子 解：（1）由于原点的相位为零，于是与原点位相位差为的条件是， （2）根据（3.1.5）式，相干成像系统的点扩散函数是透镜光瞳函数的夫琅禾费衍射图样，其中心位于理想像点 式中，而 （1） 在点扩散函数的第一个零点处，，此时应有，即 （2） 将（2）式代入（1）式，并注意观察点在原点，于是得 （3） （3）根据线性系统理论，像面上原点处的场分布，必须是物面上所有点在像面上的点扩散函数对于原点的贡献。按照上面的分析，如果略去h第一个零点以外的影响，即只考虑h的中央亮斑对原点的贡献，那么这个贡献仅仅来自于物平面原点附近范围内的小区域。当这个小区域内各点的相位因子变化不大，就可认为（3.1.3）式的近似成立，而将它弃去，假设小区域内相位变化不大于几分之一弧度（例如）就满足以上要求，则，，也即 （4） 例如，，则光瞳半径，显然这一条件是极易满足的。 一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为 放在图3.5所示的成像系统的物面上，用单色平面波倾斜照明，平面波的传播方向在x0z平面内，与z轴夹角为θ。透镜焦距为f，孔径为D。 求物体透射光场的频谱； 使像平面出现条纹的最大θ角等于多少？求此时像面强度分布； (3) 若θ采用上述极大值，使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少？与θ=0时的截止频率比较，结论如何？ 解：（1）斜入射的单色平面波在物平面上产生的场为，为确定起见设，则物平面上的透射光场为 其频谱为 由此可见，相对于垂直入射照明，物频谱沿轴整体平移了距离。 （2）欲使像面有强度变化，至少要有两个频谱分量通过系统，系统的截止频率，于是要求 ， 由此得 （1） 角的最大值为 （2） 此时像面上的复振幅分布和强度分布为 （3）照明光束的倾角取最大值时，由（1）式和（2）式可得 即 或 （3） 时，系统的截止频率为，因此光栅的最大频率 （4） 比较（3）和（4）式可知，当采用倾角的平面波照明时系统的截止频率提高了一倍，也就提高了系统的极限分辨率，但系统的通带宽度不变。 3.3光学传递函数在fx= fy =0处都等于1，这是为什么？光学传递函数的值可能大于1吗？如果光学系统真的实现了点物成点像，这时的光学传递函数怎样？ （1）在（3.4.5）式中，令 为归一化强度点扩散函数，因此（3.4.5）式可写成 而 即不考虑系统光能损失时，认定物面上单位强度点源的总光通量将全部弥漫在像面上，这便是归一化点扩散函数的意义 （2）不能大于1 （3）对于理想成像，归一化点扩散函数是函数，其频谱为常数1，即系统对任何频率的传递都是无损的。 3.4当非相干成像系统的点扩散函数hI（xi，yi）成点对称时，则其光学传递函数是实函数。 解：由于是实函数并且是中心对称的，即有，，应用光学传递函数的定义式（3.4.5）易于证明，即为实函数。 3.5 非相干成像系统的出瞳是由大量随机分布的小圆孔组成。小圆孔的直径都为2a，出瞳到像面的距离为di，光波长为λ，这种系统可用来实现非相干低通滤波。系统的截止频率近似为多大？ 解：用公式（3.4.15）来分析。首先，由于出瞳上的小圆孔是随机排列的，因此无论沿哪个方向移动出瞳计算重叠面积，其结果都一样，即系统的截止频率在任何方向上均相同。其次，作为近似估计，只考虑每个小孔自身的重叠情况，而不计及和其它小孔的重叠，这时N个小孔的重叠面积除以N个小孔的总面积，其结果与单个小孔的重叠情况是一样的，即截