常态分配的公式与常态曲线一个连续随机变数X若属常态分配.ppt

第五章 常態分配 5-1　常態分配 (一) 常態分配的意義 (二) 常態分配的公式與常態曲線 常態分配具有下列幾個特性： * 常態分配是統計學中最重要的連續機率分配，由於真實世界中有很多現象都屬於常態分配或近似常態分配，而有些間斷機率分配與連續機率分配均以常態分配為其極限，故當樣本相當大時，可用常態近似法解決這些機率分配的問題。同時許多統計量的抽樣分配常呈常態分配，故在母數的推論與假設檢定上經常以常態分配為理論的基礎。 一個連續隨機變數X若屬常態分配，則稱它為常態隨機變數(Normal random variable)。常態隨機變數X之圖形，稱為常態曲線(Normal curve)，它可以下式表示之： 1.常態曲線是一個左右對稱於平均數?的鐘形曲線，常 態曲線的兩端會趨近正負無窮大而且不會和水平座 標軸相交。且因 由此可知(? ? 3? )的範圍幾乎已完全包括了所有的X值，因此? ? 3?以外的面積可略而不計。 2.以?為中心，兩邊加減一個標準差之處（即???）， 即是常態曲線的兩個反曲點(inflection point) （又稱變向點）。 3.由於常態變數x的變動範圍為–? x ?，且由上 式知常態曲線左右兩尾與橫軸逐漸接近，但絕不會 相交（亦即對於任一x值而言，f(x)值絕不為零）。 4.常態分配既為一對稱分配，故其平均數?、中位數Me 、與眾數(Mo)三者合而為一，皆位於常態曲線之中 心位置或者最高點數所對應至橫軸的位置上，? = Me = Mo。 。 5.以?為中心，兩邊加減一個標準差的區間，即? – ?至 ? + ?，其機率（面積）為0.683，而區間[? – 2?, ? + 2?]之機率為0.954，且區間[? – 3?, ? + 3?] 之機率為0.997。 6.常態分配之偏態係數?1 = 0，峰態係數?2 = 3。 7.常態分配的平均差約等於 ，四分位差約等於標準差的 常態分配的參數是平均數?和標準差σ，? 值決定了常態分配曲線在水平座標軸上的中心點，而σ值則決定了常態分配曲線的離散程度，圖5-2中的三條常態分配曲線具有相同的平均數及不同的標準差。 但圖5-3中的三條常態分配曲線則具有不同的平均數及 相同的標準差。 (三) 常態分配的平均數(期望值)及變異數 在不確定狀態下來衡量變數值散佈範圍大小。 5-2　標準常態分配 若一常態隨機變數X之平均數為?，標準差為?；則其標準常態隨機變數Z為： 經此過程，原始分數X就轉換為平均數為0，標準差為1的Z分數，如圖5-10所示，則標準常態隨機變數之機率密度函數為： 5-3　偏　態 (一) 偏態(Skewness)的意義 指資料次數分配圖之分布的形狀是偏向中心位置的右邊，或是偏向中心位置的左邊，或是以中心位置呈對稱形狀。而偏態係數(coefficient of skewness)是用來衡量資料分佈形狀的測量數，由於不帶單位，故稱為偏態係數。 (二) 偏態係數的公式 測量偏態的量數為?1（? 讀作beta），或用SK其為三級動差?3除以? 3的無名數，即 以下介紹三種偏態係數公式： 1. 包萊公式(A. L Bowley)： 2.皮爾生公式(K. Pearson)： 3.動差法： (三) 偏態係數的型態 1.?1=0，表示對稱分配。 2.?10，表示右偏或正偏分配，即當高峰偏向於變量 較小之一方。 3.?10，表示左偏或負偏分配，即當高峰偏向於變量 較大之一方。 5-4　峰　度 (一) 峰度(kurtosis)的意義 將許多不同的資料，描繪於圖上，我們可以發現這些次數分配圖，有的高峰較高狹，有的則較低闊，此種次數分配高峰的峻峭或低闊平坦之情形即稱之為峰度。而峰度係數(Coefficient of kurtosis)就是用來衡量資料分佈的峰度高低情形，用來測度峰度之量數亦不帶單位，稱作峰度係數。 (二) 峰態係數的公式 測量峰度之量數為?2係數或用K代表或係數?2（? 讀作gamma）其為四級動差除以?4的無名數，即 (三) 峰度係數的型態 1.?2 3或?2 0，則次數分配之峰度為高狹峰 (Lepto kuntgoisis)。 2.?2 = 3或?2 = 0，則次數分配之峰度為常態峰 (Mesokuntosis)。 3.?2 3或?2 0，則次數分配之峰度為低闊峰 (Playkurtosis)。