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晶体结构的对称性-董成 晶体结构的对称性-从点阵到空间群 中国科学院物理研究所 董成 主要内容 晶体的平移对称性：三维点阵和晶胞 晶体学中的对称操作元素： (旋转轴、倒反中心、镜面、反轴、映轴、螺旋轴和滑移面) 晶体学点群，晶系和点阵型式 空间群及其应用：空间群符号，等效点系，分数坐标，不对称单位 晶体性质 对称性的不同含义 物体的组成部分之间或不同物体之间特征的对应、等价或相等的关系。（希腊字根=类似尺寸的。） 由于平衡或和谐的排列所显示的美。 形态和（在中分平面、中心或一个轴两侧的）组元的排列构型的精确对应。 晶格 晶体点阵与晶体对称性 在每个重复周期都选取一个代表点，就可以用三维空间点阵来描述晶体的平移对称性。而平移对称性是晶体最为基本的对称性。整个点阵沿平移矢量 t=ua+vb+wc (u、v， w为任意整数) 平移，得到的新空间点阵与平移前一样，称沿矢量t的平移为平移对称操作。 晶体点阵与晶体对称性 点阵是一组无限的点，连接其中任意两点可以得到一个矢量，点阵按此矢量平移后都能复原。三维空间点阵是在三维空间中点的无限阵列，其中所有的点都有相同的环境。选任意一个阵点作为原点，三个不共面的矢量a， b和c作为坐标轴的基矢，这三个矢量得以确定一个平行六面体如下： 晶胞 如上确定的六面体称为晶胞，由矢量a， b和c确定的方向称为晶体学的晶轴 X， Y， Z。 如果晶胞中只包含一个阵点，则这种晶胞被称为初基的 (primitive)。 晶胞的大小和形状可以用晶胞参数来表示，即用晶胞的三个边的长度a， b， c三个边之间的夹角a， b， g表示。 晶胞包含描述晶体结构所需的最基本结构信息。如果知道了晶胞中全部原子的坐标，就有了晶体结构的全部信息。 一般写作：晶体结构=点阵+结构基元；但准确的描述应为： 晶体结构=点阵*结构基元 ；晶体结构=结构基元@点阵 晶胞的选取 晶胞的选取可以有多种方式，但在实际确定晶胞时，要尽可能选取对称性高的初基单胞，还要兼顾尽可能反映晶体内部结构的对称性，所以有时使用对称性较高的非初基胞-惯用晶胞。 （1）符合整个空间点阵的对称性。 （2）晶轴之间相交成的直角最多。 （3）体积最小。 （4）晶轴交角不为直角时，选最短的晶轴，且交角接近直角。 点阵、结构和单胞 点阵：晶体的周期性，忽略填充空间的实际结构(分子) 。 点阵矢量：由点阵矢量移动晶体到一个等效位置的平移。 初基点阵矢量： 可选择的最小点阵矢量。 初基晶胞： 初基点阵矢量定义的平行六面体，仅包含一个点阵点。 晶体结构： 原子在晶体中的周期性排列。 它可以通过在每点阵点安放一个称为基元（或型主）的一组原子来描述。 不要混淆点阵点和原子 阵点是在空间中无穷小的点。 原子是实在物体。 阵点不必处于原子中心。 三维晶胞的原子计数 在晶胞不同位置的原子由不同数目的晶胞分享： 顶角原子T 1/8 棱上原子T 1/4 面上原子T 1/2 晶胞内部T 1 石墨晶体结构 三维点阵和晶胞 使用矢量a、b和c 指定点阵：在所有两个点阵点之间的矢量(r)满足关系， r = ua + vb + wc, ， 其中u、v和w是整数。 指定晶体中的任意点： r = (u+x)a + (v+y)b + (w+z)c ，其中u， v， w为整数 r = (ua + vb +wc) + (xa + yb +zc) x, y, z是在晶胞之内指定一个位置的分数座标。 x, y, z用晶胞边长的分数表示，在0-1之间变化。晶胞原点的分数坐标总是0，0，0。 用相同分数座标x、y和z指定的所有位置都对称等价。（由于晶体的三维周期性，在分数坐标上加减任意整数，仍然表示平移对称的等价位置。） 晶体学中的对称操作元素 分子和晶体都是对称图像，是由若干个相等的部分或单元按照一定的方式组成的。对称图像是一个能经过不改变其中任何两点间距离的操作后复原的图像。这样的操作称为对称操作。 在操作中保持空间中至少一个点不动的对称操作称为点对称操作，如简单旋转和镜像转动(反映和倒反)是点式操作;使空间中所有点都运动的对称操作称为非点式操作，如平移，螺旋转动和滑移反映。 对称操作和对称元素 对称操作： 一个物体运动或变换，使得变换后的物体与变换前不可区分（复原，重合）。 对称元素：在对称操作中保持不变的几何图型：点、轴或面。 点群： 保留一点不变的对称操作群。 空间群：为扩展到三维物体例如晶体的对称操作群，由点群对称操作和平移对称操作组合而成；由 32 晶体学点群与 14个Bravais 点阵组合而成；空间群是一个单胞（包含单胞带心）的平移对称操作；反射、旋转和旋转反演等点群对称性操作、以及螺旋轴和滑移面对称性操作的组合。 全同操作 (1)全同操作(Identity)，