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2014中考数学热点专题突破训练――“最值”问题.doc
2014中考数学热点专题突破训练――“最值”问题
一、“最值”问题大都归于两类基本模型:
Ⅰ、归于函数模型:即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性,确定某范围内函数的最大或最小值
Ⅱ、归于几何模型,这类模型又分为两种情况:
(1)归于“两点之间的连线中,线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时,大都应用这一模型。
(2)归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时,大都应用这一模型。
利用函数模型求最值
例1 、如图(1),平行四边形中,,E为BC上一动点(不与B重合),作于,设的面积为当运动到何处时,有最大值,最大值为多少?
(1)
【观察与思考】容易知道是的函数,为利用函数的性质求的最大值,
就应先把关于的函数关系式求出来,而这又需要借助几何计算。 (1)
解:如图(1`),延长交的延长线于易知。
,而,
又,在中,。
。
中。
对称轴当,随的增大而增大。
当,即E与C重合时,有最大值,。
【说明】可以看出,函数是解决“数量”最值问题的最基本的方法。
三、利用几何模型求最值
(1)归入“两点之间的连线中,线段最短”
例1、几何模型:
条件:如下左图,、是直线同旁的两个定点.
问题:在直线上确定一点,使的值最小.
方法:作点关于直线的对称点,连结交于点,则的值最小(不必证明).
模型应用:
(1)如图1,正方形的边长为2,为的中点,是上一动点.连结,由正方形对称性可知,与关于直线对称.连结交于,则的最小值是___________;
(2)如图2,的半径为2,点在上,,,是上一动点,求的最小值;
(3)如图3,,是内一点,,分别是上的动点,求周长的最小值.
例2 如图(1)所示,在一笔直的公路的同一旁有两个新开发区,已知千米,直线与公路的夹角新开发区B到公路的距离千米。
(1)求新开发区A到公路的距离;
(2)现从上某点处向新开发区修两条公路,使点到新开发区的距离
之和最短,请用尺规作图在图中找出点的位置(不用证明,不写作法,保留作图痕迹),并求出此时的值。
【观察与思考】对于(1),直接归于几何计算。
对于(2),首先利用“轴对称”的性质,
把原题中的求“” 最短,转化成求“ ”最短(其中是A关于的对点。
解:(1)先作垂直于于点如图(1`)
在中,(千米)
在中,(千米)
(千米)
(2)作点A关于的对称点,连结交于点。
(1`)
结果如图(1``),点即为所求。
如图(1``),作交的延长线于点。
在中,(千米),
(千米)。
(千米)。
此时(千米)
例3 如图,(1),在中,,为边上一定点,(不与点B,C重合),为边上一动点,设的长为,请写出最小值,并说明理由。
【观察与思考】其实,本题和例2中的(2)基本上是相同的,是“在
直线上求一点,使它到同侧的两个定点和的距离之和
最小”。因此,可由图(1`)(连结关于的对称点与所成线段,
交于。或图(1``)(连结关于的对称点与所成线段,
交于,都同样可得最小值。
(1`) (1``) (1```)
解:如图(1```),作点关于的对称点,连结交于点,易知,
。 在中,,
又,在上任意取一异于的点,连结,则
对边上的动点,最小值为。
【说明】Ⅰ、在本题,关键仍是将最小问题,转化成求线段的长,转化的桥梁仍是利用“轴对称”的性质;
注意:至于求线段的长,仍是以归入“解直角三角形”为第一选择。不管在什么背景下,有关线段之和最短问题,总是化归到“两点之间的所有连线中,线段最短”,而转化的方法大都是借助于“轴对称点”
例4 如图(1),抛物线和轴的交点为为的中点,若有一动点,自点处出发,沿直线运动到轴上的某点(设为点),再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点(设为点),最后又沿直线运动到点,求使点运动的总路程最短的点,点的坐标,并求出这个最短路程的长。
解:如图(1`),由题意可得(0,3),,抛物线的对称点
为,点关于轴的对称点为,点关于抛物线
对称轴的对称点为(6,3)。连结。
根据轴对称性及两点间线段最短可知,的长就是所求点运动中
最短总路程的长,在直线的方程为(过程略)。
设与的交点为则为在轴上所求的点,与直线
的交点为所求的F点。
可得点的坐标为(2,0),F点的坐标为)。
由勾股定理可求出(过程略)
所以点运动的总路程()最短时间为。
不管在什么背景下,有关线段之和最短问题,总是化归到“两点之间的所有连线中,线段最短”,而转化的方法大都是借助于“轴对称点”
(2)归于“三角形两边之差小于第三边”
例5、如图(1),直线与轴交于点C,与轴交于点B,点A
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