排列组合的题型(精)教师版讲解.doc

题型一　无限制条件的排列问题 (1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ (2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 解　(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是：A＝5×4×3＝60，所以，共有60种不同的送法． (2)由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是：5×5×5＝125，所以，共有125种不同的送法． 小结　本题两小题的区别在于：第(1)小题是从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而第(2)小题中，给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本，各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算． (1)某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？ (2)将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？ 解　(1)分3类：第一类用1面旗表示的信号有A种；第二类用2面旗表示的信号有A种； 第三类用3面旗表示的信号有A种，由分类加法计数原理，所求的信号种数是： A＋A＋A＝3＋3×2＋3×2×1＝15， 即一共可以表示15种不同的信号． (2)由分步乘法计数原理，分配方案种数共有N＝A·A＝576.即共有576种不同的分配方案． 题型二　“元素 3、用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 解　方法一　用分步乘法计数原理：(特殊位置) 所求的三位数的个数是： A·A＝9×9×8＝648. 方法二　(特殊元素) 符合条件的三位数可以分成三类：每一位数字都不是0的三位数有A个，十位数字是0的三位数有A个，由分类加法计数原理，符合条件的三位数的个数是：A＋A＋A＝648. 方法三　(间接法) 从0到9这10个数字中任取3个数字的排列数为A，其中以0为排头的排列数为A，因此符合条件的三位数的个数是A－A＝648. 小结　解决排列应用题，常用的思考方法有直接法和间接法． 排列问题的实质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子． 五个学生和一个老师站成一排照相，问老师不排在两端的排法有多少种？ 解　方法一　(先满足特殊位置) 由于排头和排尾两个位置有限制要求，因此先从五个学生中选出两个坐在排头和排尾，有A种方法，余下的四人可任意站，有A种方法， 所以符合要求的排法为A·A＝480(种)． 方法二　(先满足特殊元素) 老师既然不能排在两端，于是可以从中间四个位置中任选一个，有A种方法．五个学生在余下的五个位置中任意排列，有A种排法．因此符合题意的排法为AA＝480(种)． 方法三　(间接法) 由于六个人任意排有A种排法，但实际必须除去老师排在排头的A种方法和排在排尾的A种方法，因而有A－2A＝480(种)． 6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为(　　) A．720 B．144 C．576 D．684 解析　(间接法)甲、乙、丙三人在一起的排法种数为A×A；不考虑任何限制，6人的全排列有A.∴符合题意的排法种数为：A－A×A＝576. 将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球，分别放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小口袋中，若不允许有空袋，且红口袋中不能装入红球，则有________种不同的放法． 解析　先装红球，且每袋一球，所以有A×A＝96(种)． 1．对有特殊限制的排列问题，优先安排特殊元素或特殊位置． 2．对从正面分类繁杂的排列问题，可考虑使用间接法． 3．对要求某些元素相邻或不相邻的排列问题，可使用“捆绑法”、“插空法”. (2013·吉林白山一中高二期末)某公司新招聘8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一部门，则不同的分配方案共有(　　) A．24种 B．36种 C．38种 D．108种 [解析]　由电脑编程人员的分配方案进行分类： 第一类：电脑编程人员分给甲部门1人，另2人去乙部门，有C·C·C＝18种； 第二类：电脑编程人员分给甲部门2人，另1人去乙部门，有C·C·C＝18种． 共有不同分配方案18＋18＝36种． [答案]　B 题型三　元素“相邻”与“不相邻”问题 男生甲在正中间．两女生相邻有A种，可排在甲的